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【成才之路】2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理知能基础测试 新人教B版选修2-3时间120分钟,满分150分一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种选出3种分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有()A24种B18种C12种D6种答案B解析因为黄瓜必须种植,在余下的3种蔬菜品种中再选出两种,进行排列共有CA18种故选B.2已知CCC(nN*),则n等于()A14 B12 C13 D15答案A解析因为CCC,所以CC.78n1,n14,故选A.3某铁路所有车站共发行132种普通客票,则这段铁路共有车站数是()A8 B12 C16 D24答案B解析An(n1)132.n12.故选B.4(1x)7的展开式中x2的系数是()A42 B35 C28 D21答案D解析展开式中第r1项为Tr1Cxr,T3Cx2,x2的系数为C21.5一排9个座位坐了3个三口之家, 若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()A33! B3(3!)3 C(3!)4 D9!答案C解析本题考查捆绑法排列问题由于一家人坐在一起,可以将一家三口人看作一个整体,一家人坐法有3!种,三个家庭即(3!)3种,三个家庭又可全排列,因此共(3!)4种注意排列中在一起可用捆绑法,即相邻问题6某校园有一椭圆型花坛,分成如图四块种花,现有4种不同颜色的花可供选择,要求每块地只能种一种颜色,且有公共边界的两块不能种同一种颜色,则不同的种植方法共有()A48种 B36种C30种 D24种答案A解析由于相邻两块不能种同一种颜色,故至少应当用三种颜色,故分两类第一类,用4色有A种,第二类,用3色有4A种,故共有A4A48种7若多项式x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10,则a9()A9 B10 C9 D10答案D解析x10的系数为a10,a101,x9的系数为a9Ca10,a9100,a910.故应选D.另解:(x1)12(x1)110a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10,显然a9C(1)10.8(2015黑龙江省龙东南四校高二期末)从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有()A48种 B36种 C18种 D12种答案B解析分两种情况:(1)小张小赵去一人:CCA24;(2)小张小赵都去:AA12,故有36种,应选B.9(2015湖北理,3)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A212 B211C210 D29答案D解析由题意可得,二项式的展开式满足Tr1Cxr,且有CC,因此n10.令x1,则(1x)n210,即展开式中所有项的二项式系数和为210;令x1,则(1x)n0,即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为0,因此奇数项的二项式系数和为(2100)29.故本题正确答案为D.10将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有()A12种 B18种 C36种 D54种答案B解析由题意不同的放法共有CC18种11(2015四川理,6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个 C96个 D72个答案B解析据题意,万位上只能排4、5.若万位上排4,则有2A个;若万位上排5,则有3A个所以共有2A3A524120个选B.12从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有()A24对 B30对C48对 D60对答案C解析解法1:先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60角的对数,然后根据正方体六个面的特征计算总对数如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,与面对角线AC成60角的面对角线有B1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8条,同理与BD成60角的面对角线也有8条,因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线,共组成16对,又正方体共有6个面,所有共有16696对因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60角时,有AD1,计算与AD1成60角时有AC,故AD1与AC这一对被计算了2次),因此共有9648对解法2:间接法正方体的面对角线共有12条,从中任取2条有C种取法,其中相互平行的有6对,相互垂直的有12对,共有C61248对二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分将正确答案填在题中横线上)13(2015上海理,8)在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选法有_种(用数值表示)答案120解析由题意得,去掉选5名教师情况即可:CC1266120.14(2015新课标,15)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a_.答案3解析由已知得(1x)414x6x24x3x4,故(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系数之和为4a4a16132,解得a3.15有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式共有_种(用数字作答)答案264解析由条件上午不测“握力”,则4名同学测四个项目,有A;下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复,如甲乙丙丁上午台阶身高立定肺活量下午下午甲测“握力”乙、丙、丁所测不与上午重复有2种,甲测“身高”、“立定”、“肺活量”中一种有339,故A(29)264种16从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,能被3整除的数有_个答案228解析一个数能被3整除的条件是它的各位上的数字之和能被3整除根据这点,分为如下几数:(1)三位数各位上的数字是1,4,7或2,5,8这两种情况,这样的数有2A12(个)(2)三位数的各位上只含0,3,6,9中的一个,其他两位上的数则从(1,4,7)和(2,5,8)中各取1个,这样的数有CCCA216(个),但要除去0在百位上的数,有CCA18(个),因而有21618198(个)(3)三位数的各位上的数字是0,3,6,9中的3个,但要去掉0在百位上的,这样应有33218(个),综上所述,由0到9这10个数字所构成的无重复数字且能被3整除的3位数有1219818228(个)三、解答题(本大题共6个小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)一个小组有10名同学,其中4名男生,6名女生,现从中选出3名代表,(1)其中至少有一名男生的选法有几种?(2)至多有1名男生的选法有几种?解析(1)方法一:(直接法)第一类:3名代表中有1名男生,则选法种数为CC60(种);第二类:3名代表中有2名男生,则选法种数为CC36(种);第三类:3名代表中有3名男生,则选法种数为C4(种);故共有60364100(种)方法二:(间接法)从10名同学中选出3名同学的选法种数为C种其中不适合条件的有C种故共有CC100(种)(2)第一类:3名代表中有一名男生,则选法为CC60(种);第二类:3名代表中无男生,则选法为C20(种);故共有602080(种)18(本题满分12分)从1、0、1、2、3这5个数中选3个不同的数组成二次函数yax2bxc(a0)的系数(1)开口向上的抛物线有多少条?(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条?解析(1)要使抛物线的开口向上,必须a0,CA36(条)(2)开口向上且不过原点的抛物线,必须a0,c0,CCC27(条)19(本题满分12分)求()9的展开式中的有理项解析Tr1C(x)9r(x)r(1)rCx,令Z,即4Z,且r0,1,2,9r3或r9.当r3时,4,T4(1)3Cx484x4;当r9时,3,T10(1)9Cx3x3.()9的展开式中的有理项是:第4项,84x4和第10项,x3.20(本题满分12分)有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内(1)共有多少种放法?(2)恰有一个盒不放球,有多少种放法?(3)恰有一个盒内有2个球,有多少种放法?解析(1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有4种独立的放法,由分步乘法计数原理,放法共有44256(种)(2)为保证“恰有一个盒子不放球”,先从四个盒子中任意拿出去1个,即将4个球分成2,1,1的三组,有C种分法;然后再从三个盒子中选一个放两个球,其余两个球,两个盒子,全排列即可由分步乘法计算原理,共有放法:CCCA144(种)(3)“恰有一个盒内放2个球”,即另外三个盒子中恰有一个空盒因此,“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事故也有144种放法21(本题满分12分)(2015北京高二质检)已知(3x2)n展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项解析令x1得展开式各项系数和为(13)n4n,又展开式二项式系数和为CCC2n,由题意有4n2n992.即(2n)22n9920,(2n32)(2n31)0,所以n5.(1)因为n5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大项为第三、四两项,它们是T3C()3(3x2)290x6.T4C()2(3x2)3270x.(2)设展开式中第k1项的系数最大又Tk1C()5k(3x2)kC3kx,得k.又因为kZ,所以k4,所以展开式中第
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