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第二章章末质量评估检测时间:120分钟满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1自然数是整数,4是自然数,所以4是整数以上三段论推理()A正确B推理形式不正确C两个“自然数”概念不一致D“两个整数”概念不一致解析:三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的答案:A2已知bn为等比数列,b52,则b1b2b3b929.若an为等差数列,a52,则an的类似结论为()Aa1a2a3a929Ba1a2a929Ca1a2a929 Da1a2a929解析:由等差数列性质,有a1a9a2a82a5.易知D成立答案:D3已知f(x1),f(1)1(xN*),猜想f(x)的表达式为()Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)解析:f(2),f(3),f(4),猜想f(x).答案:B4下列四类函数中,具有性质“对任意的x0,y0,函数f(x)满足f(x)yf(xy)”的是()A指数函数 B对数函数C一次函数 D余弦函数解析:当函数f(x)ax(a0,a1)时,对任意的x0,y0,有f(x)y(ax)yaxyf(xy),即指数函数f(x)ax(a0,a1)满足f(x)yf(xy),可以检验,B,C,D选项均不满足要求答案:A5下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比,则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比,则有sin(xy)sinxsinyC把a(bc)与axy类比,则有axyaxayD把(ab)c与(xy)z类比,则有(xy)zx(yz)解析:(xy)zx(yz)是乘法的结合律,正确答案:D6观察下列各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则a10b10()A28 B76C123 D199解析:记anbnf(n),则f(3)f(1)f(2)134;f(4)f(2)f(3)347;f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN*,n3),则f(6)f(4)f(5)18;f(7)f(5)f(6)29;f(8)f(6)f(7)47;f(9)f(7)f(8)76;f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.答案:C7在平面直角坐标系内,方程1表示在x,y轴上的截距分别为a,b的直线,拓展到空间直角坐标系内,在x,y,z轴上的截距分别为a,b,c(abc0)的平面方程为()A.1 B.1C.1 Daxbycz1解析:类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证答案:A8求证:.证明:因为和都是正数,所以为了证明,只需证明()2()2,展开得525,即20,此式显然成立,所以不等式成立上述证明过程应用了()A综合法B分析法C综合法、分析法配合使用D间接证法解析:证明过程中的“为了证明”,“只需证明”这样的语句是分析法所特有的,是分析法的证明模式答案:B9用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,假设正确的是()A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60解析:假设应为“三内角都大于60”答案:B10数列an满足a1,an11,则a2 013等于()A. B1C2 D3解析:a1,an11,a211,a312,a41,a511,a612,an3kan(nN*,kN*)a2 013a33670a32.答案:C11分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:“设abc,且abc0,求证:a”最终的索因应是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析:要证a只需证b2ac3a2abc0,bac只需证(ac)2ac3a2只需证(ca)(c2a)0只需证(ca)(cabc)0只需证(ca)(ab)0故选C.答案:C12观察式子:1,1,1,则可归纳出一般式子为()A1(n2)B1(n2)C1(n2)D1(n2)解析:由合情推理可得答案:C二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13“因为AC,BD是菱形ABCD的对角线,所以AC,BD互相垂直且平分”以上推理的大前提是_答案:菱形对角线互相垂直且平分14已知x,yR,且xy2,且x,y中至少有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为_解析:“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x,y均不大于1”,亦即“x1且y1”答案:x,y均不大于1(或者x1且y1)15已知 2, 3, 4, 6,a,b均为正实数,由以上规律可推测出a、b的值,则ab_.解析:由题意归纳推理得6,b62135,a6.ab63541.答案:4116现有一个关于平面图形的命题:如图,同一平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为_解析:解法的类比(特殊化),易得两个正方体重叠部的体积为.答案:三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交;(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行解析:(1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交结论是正确的,证明如下:设,且a,则必有b,若与不相交,则必有.又,与a矛盾,必有b.(2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错误的,这两个平面也可能相交18(本小题满分12分)ABC中,三边a、b、c成等比数列求证:acos2ccos2b.证明:a、b、c成等比数列,b2ac.acos2ccos2(ac)(acosCccosA)(ac)(ac)bbbacos2ccos2b.19(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数;sin213cos217sin13cos17;sin215cos215sin15cos15;sin218cos212sin18cos12;sin2(18)cos248sin(18)cos48;sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论解析:方法一:(1)选择式,计算如下:sin215cos215sin15cos151sin301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下:sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.方法二:(1)同方法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下:sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2(cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.20(本小题满分12分)若a10,a11,an1(n1,2,)(1)求证:an1an;(2)令a1,写出a2、a3、a4、a5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明)解析:(1)证明:若an1an,即an,解得an0或1.从而anan1a2a10或1,这与题设a10,a11相矛盾,所以an1an不成立故an1an成立(2)由题意得a1,a2,a3,a4,a5,由此猜想:an.21(本小题满分12分)先解答(1),再通过结构类比解答(2)(1)求证:tan;(2)设xR,a为非零常数,且f(x),试问:f(x)是周期函数吗?证明你的结论解析:(1)证明:由两角和的正切公式得tan,即tan,命题得证(2)猜想f(x)是以4a为周期的周期函数证明过程如下:f(x2a)f(xa)a.f(x4a)f(x2a)2af(x)f(x)是以4a为周期的周期函数f(x)是周期函数,其中一个周期为4a.22(本小题满分12分)已知Cn(n1)n,设TnC1C2Cn,试比较Tn与的大小,并予以证明解析:Cn(n1)n,故Tn23243(n1)n,Tn223344(n1)n1,由,得Tn123n(n1)n11(n1)n1.Tn3,Tn3,于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n1的大小由2211,22221,23231,24241,25251,可猜想当n3时,2n2n1,证明如下:当n3时,由上可知显然成立假设当nk时,2k2k1成立那么,当nk1时,
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