第三章 导数及其应用第1讲 变化率与导数、导数的运算一、选择题1设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为()A B0 C. D5解析 因为f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x0处取得极值，即f(0)0，又f(x)的周期为5，所以f(5)0，即曲线yf(x)在x5处的切线的斜率为0，选B.答案 B 2函数f(x)是定义在(0，)上的可导函数，且满足f(x)0，xf(x)f(x)b，则必有()Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b) Dbf(b)0)，F(x)，由条件知F(x)b0，即bf(a)0)，则f(2)的最小值为()A12 B128aC88a D16解析f(2)88a，令g(a)88a，则g(a)8，由g(a)0得a，由g(a)0得0a，a时f(2)有最小值f(2)的最小值为8816.故选D.答案D4已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()Ae B1 C1 De解析由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，则f(1)1.答案B5等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26 B29 C212 D215解析函数f(x)的展开式含x项的系数为a1a2a8(a1a8)484212，而f(0)a1a2a8212，故选C.答案C6已知函数f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)f(x)g(x)，则 ()Ah(1)h(0)h(1) Bh(1)h(1)h(0)Ch(0)h(1)h(1) Dh(0)h(1)h(1)解析由图象可知f(x)x，g(x)x2，则f(x)x2m，其中m为常数，g(x)x3n，其中n为常数，则h(x)x2x3mn，得h(0)h(1)h(1)答案D二、填空题7曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线方程为_解析yx(3ln x1)，y3ln x1x3ln x4，ky|x14，所求切线的方程为y14(x1)，即y4x3.答案y4x38若过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为_，切线的斜率为_解析yex，设切点的坐标为(x0，y0)则ex0，即ex0，x01.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e.答案(1，e)e9已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在x1处的导数f(1)_.解析f(x)2f(2x)x28x8，x1时，f(1)2f(1)188，f(1)1，即点(1,1)，在曲线yf(x)上又f(x)2f(2x)2x8，x1时，f(1)2f(1)28，f(1)2.答案210同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为：y2(1t12)，则10月份该商品价格上涨的速度是_元/月解析y2(1t12)，y2.由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y|t103.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月答案3三、解答题11求下列函数的导数：(1)y(2x1)n，(nN*)；(2)yln (x)；(3)y；(4)y2xsin(2x5)解(1)yn(2x1)n1(2x1)2n(2x1)n1.(2)y.(3)y1y.(4)y2sin(2x5)4xcos(2x5)12设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a、b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1x2，且对任意的xx1，x2，f(x)g(x)0m；又对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立，特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m成立，即0mm0，x1x22m0，故0x10，则f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0；又f(x1)g(x1)mx10，所以函数在xx1，x2上的最大值为0，于是当m0时对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立综上：m的取值范围是13设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值(1)解方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f(x)1知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得，y，从而得切线与直线x0交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，此定值为6.14设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b，为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切(1)求a，b的值；(2)证明：当0x2时，f(x)0时，2x11x2，故1.记h(x)f(x)，则h(x).令g(x)(x6)3216(x1)，则当0x2时，g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)0，得h(x)0.于是当0x2时，f(x).