第2讲 圆的方程一、选择题1已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y24解析AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|2，圆的方程为：x2y22.答案A2设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与圆的位置关系是 ()A原点在圆上 B原点在圆外C原点在圆内 D不确定解析将圆的一般方程化为标准方程(xa)2(y1)22a，因为0a0，所以原点在圆外答案B3已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21D(x2)2(y2)21解析 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有解得对称圆的半径不变，为1.答案B4若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1，则半径r的取值范围是()A(4,6) B4,6) C(4,6 D4,6解析因为圆心(3，5)到直线4x3y20的距离为5，所以当半径r4 时，圆上有1个点到直线4x3y20的距离等于1，当半径r6时，圆上有3个点到直线4x3y20的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1时，4r6.答案A5已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m的值为 () A8 B4 C6 D无法确定解析圆上存在关于直线xy30对称的两点，则xy30过圆心，即30，m6.答案C6圆心为C的圆与直线l：x2y30交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足0，则圆C的方程为 ()A.2(y3)2 B.2(y3)2C.2(y3)2 D.2(y3)2解析法一圆心为C，设圆的方程为2(y3)2r2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)由圆方程与直线l的方程联立得：5x210x104r20，x1x22，x1x2.由0，得x1x2y1y20，即：x1x2(x1x2)0，解得r2，经检验满足判别式0.故圆C的方程为2(y3)2.法二圆心为C，设圆的方程为2(y3)2r2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即2(y3)2，故选C.答案C二、填空题7过两点A(0,4)，B(4,6)，且圆心在直线x2y20上的圆的标准方程是_解析 设圆心坐标为(a，b)，圆半径为r，则圆方程为(xa)2(yb)2r2，圆心在直线x2y20上，a2b20，又圆过两点A(0,4)，B(4,6)，(0a)2(4b)2r2，且(4a)2(6b)2r2，由得：a4，b1，r5，圆的方程为(x4)2(y1)225.答案 (x4)2(y1)2258已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(0，1)，B(0,1)P是圆C上的动点，当|PA|2|PB|2取最大值时，点P的坐标是_解析 设P(x0，y0)，则|PA|2|PB|2x(y01)2x(y01)22(xy)2，显然xy的最大值为(51)2，dmax74，此时6，结合点P在圆上，解得点P的坐标为.答案 9已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_解析由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为，圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)2510已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(1,0)，B(1,0)，点P是圆上的动点，则d|PA|2|PB|2的最大值为_，最小值为_解析设点P(x0，y0)，则d(x01)2y(x01)2y2(xy)2，欲求d的最值，只需求uxy的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.答案7434三、解答题11已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解(1)直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1,2)，直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得ab30.又直径|CD|4，|PA|2，(a1)2b240，由解得或圆心P(3,6)或P(5，2)，圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.12已知圆M过两点C(1，1)，D(1,1)，且圆心M在xy20上(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值解(1)设圆M的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，根据题意得：解得ab1，r2，故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2)因为四边形PAMB的面积SSPAMSPBM|AM|PA|BM|PB|，又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以S2|PA|，而|PA|，即S2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x4y80上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，所以四边形PAMB面积的最小值为S222.13已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解(1)设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，且(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2，令xcos ，ysin ，xy2(sin cos )22sin2，所以的最小值为4. 14已知点A(3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值解(1)设点P的坐标为(x，y)，则2.化简可得(x5)2y216，此即为所求(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|，当CQl1时，|CQ|取最小值，|CQ|4， 此时|QM|的最小值为4