第九章 解析几何第1讲 直线方程和两直线的位置关系一、选择题1已知直线l的倾斜角满足条件sincos，则l的斜率为()A. B. C D解析 必为钝角，且sin的绝对值大，故选C.答案C2经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y()A1 B3 C0 D2解析由y2，得：y2tan 1.y3.答案B3若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ()A. B.C. D.解析如图，直线l：ykx，过定点P(0，)，又A(3,0)，kPA，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.答案B4过点A(2,3)且垂直于直线2xy50的直线方程为()Ax2y40 B2xy70Cx2y30 Dx2y50解析由题意可设所求直线方程为：x2ym0，将A(2,3)代入上式得223m0，即m4，所以所求直线方程为x2y40.答案A5设直线l的方程为xycos 30(R)，则直线l的倾斜角的范围是()A0，) B.C. D.解析(直接法或筛选法)当cos 0时，方程变为x30，其倾斜角为；当cos 0时，由直线方程可得斜率k.cos 1,1且cos 0，k(，11，)tan (，11，)，又0，)，.综上知，倾斜角的范围是.答案C6将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn() A4 B6 C. D.解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.答案C二、填空题7若A(2,3)，B(3，2)，C(，m)三点共线，则m的值为_解析 由kABkBC，即，得m.答案 8直线过点(2，3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是_解析 设直线方程为为1或ykx的形式后，代入点的坐标求得a5和k.答案 yx或19已知直线l1：ax3y10与直线l2：2x(a1)y10垂直，则实数a_.解析由两直线垂直的条件得2a3(a1)0，解得a.答案10若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则的值为_解析由题意得，a4且c2，则6xayc0可化为3x2y0，由两平行线间的距离，得，解得c2或c6，所以1.答案1三、解答题11已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使ABO面积最小的直线l？若存在，求出；若不存在，请说明理由解存在理由如下设直线l的方程为y1k(x2)(k0)，则A，B(0,12k)， AOB的面积S(12k)(44)4.当且仅当4k，即k时，等号成立，故直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.12已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点 (1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3.解得2或.l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)dmax|PA|.13已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x4y70，l2：3x4y80截得的线段长为d.(1)求d的最小值；(2)当直线l与x轴平行，试求d的值解(1)因为324370,324380，所以点P在两条平行直线l1，l2外过P点作直线l，使ll1，则ll2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|3.(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x11270,3x21280，所以3(x1x2)15，即x1x25，所以d|AB|x1x2|5.14已知直线l1：xy30，直线l：xy10.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程解法一因为l1l，所以l2l，设直线l2：xym0(m3，m1)直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等由两平行直线间的距离公式得，解得m5或m3(舍去)所以直线l2的方程为xy50.法二由题意知l1l2，设直线l2：xym0(m3，m1)在直线l1上取点M(0,3)，设点M关于直线l的对称点为M(a，b)，于是有解得即M(4，1)把点M(4，1)代入l2的方程，得m5，所以直线l2的方程为xy50.