第七章 不等式第1讲 不等关系与不等式一、选择题1.已知则( )A. B. C. D. 解析 因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B.答案B2设0ba1，则下列不等式成立的是()Aabb21 Bba0C2b2a2 Da2ab0a，0ab，a0b，ab0，能推出b，ab0可得，、正确又正数大于负数，正确，错误，故选C.答案C4如果a，b，c满足cba，且acac Bc(ba)0Ccb2ab2 Dac(ac)0解析由题意知c0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b0时C不正确答案C5若a0，b0，则不等式ba等价于()Ax0或0x BxCx或x Dx或x解析由题意知a0，b0，x0，(1)当x0时，bax；(2)当x0时，bax.综上所述，不等式bax或x.答案D6若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件条件甲：对于区间1,0上的一切x值，axb0恒成立；条件乙：2ba0，则甲是乙的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析当x1,0时，恒有axb0成立，当a0时，axbba0，当a0，ba0，b0，2ba0，甲乙，乙推不出甲，例如：ab，b0时，则2bab0，但是，当x1时，a(1)bbbb0，甲是乙的充分不必要条件答案A二、填空题7若a1a2，b10.答案 a1b1a2b2a1b2a2b18现给出三个不等式：a212a；a2b22；.其中恒成立的不等式共有_个解析因为a22a1(a1)20，所以不恒成立；对于，a2b22a2b3(a1)2(b1)210，所以恒成立；对于，因为()2()2220，且0，0，所以，即恒成立答案29已知1xy4，且2xy3，则z2x3y的取值范围是_(用区间表示)解析z(xy)(xy)，3(xy)(xy)8，z3,8答案3,810给出下列四个命题：若ab0，则；若ab0，则ab；若ab0，则；设a，b是互不相等的正数，则|ab|2.其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)解析作差可得，而ab0，则b0，则，所以可得ab正确0，错误当ab0时此式不成立，错误答案三、解答题11已知aR，试比较与1a的大小解析(1a).当a0时，0，1a.当a1且a0时，0，1a.当a1时，0，1a.综上所述，当a0时，1a；当a1且a0时，1a；当a1时，1a.12已知f(x)ax2c且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范围解由题意，得解得所以f(3)9acf(1)f(2)因为4f(1)1，所以f(1)，因为1f(2)5，所以f(2).两式相加，得1f(3)20，故f(3)的取值范围是1,2013 (1)设x1，y1，证明xyxy；(2)设1abc，证明logablogbclogcalogbalogcblogac.证明(1)由于x1，y1，所以xyxyxy(xy)1yx(xy)2.将上式中的右式减左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)既然x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，从而所要证明的不等式成立(2)设logabx，logbcy，由对数的换底公式得logca，logba，logcb，logacxy.于是，所要证明的不等式即为xyxy其中xlogab1，ylogbc1.故由(1)可知所要证明的不等式成立14已知f(x)是定义在(，4上的减函数，是否存在实数m，使得f(msin x) f对定义域内的一切实数x均成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由思维启迪：不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域解假设实数m存在，依题意，可得即因为sin x的最小值为1，且(sin x)2的最大值为0，要满足题意，必须有解得m或m3.所以实数m的取值范围是.探究提高不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，mf(x)恒成立，只需mf(x)min.