第5讲指数与指数函数一、填空题1方程4x2x130的解是_解析 方程4x2x130可化为(2x)222x30，即(2x3)(2x1)0，2x0，2x3，xlog23.答案 log232已知函数f(x)是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是_解析 函数f(x)是定义域上的递减函数，即解得a.答案 a3设集合Mx|2x11，xR，Nx|logx1，xR，则MN等于_解析 Mx|x时，u(x)x2x2递减，又yx在定义域上递减，故函数y的单调递增区间为.答案 5已知函数f(x)关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的范围是_解析 方程f(x)xa0有且只有一个实根，等价于函数yf(x)与yxa的图象有且只有一个交点结合下面函数图象可知a1.答案 (1，)6设定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(2 010)_.解析当x0时，f(2 010)f(2 009)f(2 008)f(2 008)f(2 007)f(2 008)f(2 007)f(2 005)f(2 006)f(2 005)f(2 005)f(2 004)f(2 004)，所以f(x)是以T6的周期函数，所以f(2 010)f(3356)f(0)31.答案7已知函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则g(0)，g(2)，g(3)的大小关系是_解析因为f(x)f(x)，g(x)g(x)，所以由f(x)g(x)ex，得f(x)g(x)ex，与f(x)g(x)ex联立，求得f(x)(exex)，g(x)(exex)，g(x)(exex)0，x0，当x0，当x0时，g(x)0，a1)的图象恒过点A，若直线l：mxny10经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为_解析由指数函数的性质可得：函数ya2x2(a0，a1)的图象恒过点A(1,1)，而Al，mn10，即mn1，由基本不等式可得：m2n2(mn)2.O到直线l的距离d，O到直线l的距离的最大值为.答案二、解答题11已知函数f(x)2x(xR)(1)讨论f(x)的单调性与奇偶性；(2)若2xf(2x)mf(x)0对任意的x0，)恒成立，求m的取值范围解(1)由f(x)2x2xf(x)知f(x)是奇函数由y12x与y22x是(，)上的增函数，得f(x)是(，)上的增函数(2)当x0，)时，2xm0，即0恒成立，因为x0时，2x0，所以22x1m0，m(22x1)，所以m(201)2.12如图，过原点O的直线与函数y2x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y4x的图象于点C.若AC平行于y轴，求A点的坐标解 设C(a,4a)，A(x1，y1)，B(x2，y2)ACy轴，x1a，y12x12a，即A(a,2a)又y22x24a，x22a，即B(2a,4a)A、B、O三点共线，a1，A(1,2)13已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若abf(x)时的x的取值范围解 (1)当a0，b0时，因为a2x、b3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a0，blog；当a0，b0时，x，解得xlog.14设函数f(x)kaxax(a0且a1)是奇函数(1)求k的值；(2)若f(1)0，解关于x的不等式f(x22x)f(x4)0；(3)若f(1)，且g(x)a2xa2x2mf(x)在1，)上的最小值为2，求m的值解(1)因为f(x)是奇函数，且f(0)有意义，所以f(0)0，所以k10，k1.(2)因为f(1)0，所以a0，a1，f(x)axax是R上的单调增函数于是由f(x22x)f(x4)f(4x)，得x22x4x，即x23x40，解得x4或x1.(3)因为f(1)，所以a，解得a2(a0)，所以g(x)22x22x2m(2x2x)(2x2x)22m(2x2x)2.设tf(x)2x2x，则由x1，得tf(1)，g(x)t22mt2(tm)22m2.若m，则当tm时，ymin2m22，解得m2.若m，则当t时，ymin3m2，解得m(舍去)综上得m2.