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3.1导数的概念及运算1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为,若xx2x1,yf(x2)f(x1),则平均变化率可表示为.2函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数,记作f(x0)或y,即f(x0) .(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0,f(x0)处的切线的斜率相应地,切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数,导函数有时也记作y.4基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c (c为常数)f(x)_0_f(x)x (Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax (a0)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0,且a1)f(x)f(x)ln xf(x)5.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x);(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x);(3)(g(x)0)6复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时,可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)若f(x)a32axx2,则f(x)3a22x.()(6)函数y的导数是y.()1设函数f(x)ax3bx(a0),若f(3)3f(x0),则x0_.答案解析由已知得f(x)ax2b.又f(3)3f(x0),则有9a3b3ax3b,所以x3,则x0.2如图所示为函数yf(x),yg(x)的导函数的图象,那么yf(x),yg(x)的图象可能是_答案解析由yf(x)的图象知yf(x)在(0,)上单调递减,说明函数yf(x)的切线的斜率在(0,)上也单调递减,故可排除.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交,说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同,由图知不符合,符合,故正确3(2014广东)曲线y5ex3在点(0,2)处的切线方程为_答案5xy20解析因为y|x05e05,所以曲线在点(0,2)处的切线方程为y(2)5(x0),即5xy20.4曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_答案解析y2e2x,曲线在点(0,2)处的切线斜率k2,切线方程为y2x2,该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示,其中直线y2x2与yx的交点为A(,),三角形的面积S1.题型一利用定义求函数的导数例1用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数解方法一yf(xx)f(x)(xx)22(xx)1(x22x1)x22xxx22x2x1x22x1(2x2)xx2,所以 (2x2)x2x2.所以函数f(x)x22x1在x1处的导数为f(x)|x12120.方法二yf(1x)f(1)(1x)22(1x)1(12211)12xx222x12x2,所以 x0.故f(x)|x10.思维升华(1)求函数f(x)的导数步骤:求函数值的增量yf(x2)f(x1);计算平均变化率;计算导数f(x) .(2)利用定义法求解f(a),可以先求出函数的导数f(x),然后令xa即可求解,也可直接利用定义求解(1)函数yx在x,xx上的平均变化率_;该函数在x1处的导数是_(2)已知f(x),则f(1)_.答案(1)10(2)解析(1)y(xx)xxx.1.y|x1 0.(2)yf(1x)f(1)1, .f(1).题型二导数的运算例2求下列函数的导数:(1)yexln x;(2)yx;(3)ysin2;(4)yln(2x5)解(1)y(exln x)exln xexex(ln x)(2)yx31,y3x2.(3)ysin2(2x)cos(4x),故设ycos u,u4x,则yxyuuxsin u42sin u2sin(4x)(4)设yln u,u2x5,则yxyuux,因此y(2x5).思维升华(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量,提高运算速度,减少差错;(2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后由外向内逐层求导(1)f(x)x(2 015ln x),若f(x0)2 016,则x0_.(2)若函数r(V),则r()值等于_(3)若f(x)e2x,则f(x)_.答案(1)1(2)1(3)2e2x解析(1)f(x)2 015ln xx2 016ln x,故由f(x0)2 016得2 016ln x02 016,则ln x00,解得x01.(2)r(V),r()1.(3)f(x)(3x)e2x(2x)2e2x.题型三导数的几何意义例3设函数f(x)ax,曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值,并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时,y.又f(x)a,于是解得故f(x)x.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y1知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为yy0(xx0),即y(xx0)令x0,得y,从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx,得yx2x0,从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0,y0)处的切线与直线x0,yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0,yx所围成的三角形面积为定值,且此定值为6.思维升华导数几何意义的应用,需注意以下两点:(1)当曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线垂直于x轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是xx0;(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解(1)(2014江苏)在平面直角坐标系xOy中,若曲线yax2(a,b为常数)过点P(2,5),且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行,则ab的值是_(2)已知函数f(x)x33x,若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16,则实数a的值是_答案(1)3(2)9解析(1)yax2的导数为y2ax,直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.(2)先设切点为M(x0,y0),则切点在曲线上有y0x3x0,求导数得到切线的斜率kf(x0)3x3,又切线l过A、M两点,所以k,则3x3,联立可解得x02,y02,从而实数a的值为ak9.混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误典例:若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切,则a_.易错分析没有对点(1,0)的位置进行分析,误认为是切点而失误解析因为yx3,所以y3x2,设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0,x),则在该点处的切线斜率为k3x,所以切线方程为yx3x(xx0),即y3xx2x.又(1,0)在切线上,则x00或x0.当x00时,由y0与yax2x9相切可得a,当x0时,由yx与yax2x9相切,可得a1.答案1或温馨提醒1.对于曲线切线方程问题的求解,对曲线的求导是一个关键点,因此求导公式,求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点,应首先确定其是否为曲线的切点,进而选择相应的方法求解方法与技巧1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值;(f(x0)是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常数,其导数一定为0,即(f(x0)0.2对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误失误与防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆复合函数的导数要正确分解函数的结构,由外向内逐层求导2求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A组专项基础训练(时间:45分钟)1设点P是曲线yx3x上的任意一点,曲线在点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是_答案0,),)解析y3x2,又kf(x)3x2,k
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