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第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例一、填空题1已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得ABC120,则A,C两地的距离为_解析 如图所示,由余弦定理可得:AC210040021020cos 120700,AC10(km)答案 10 km2如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为_米解析 由题图知,连接OC,在三角形OCD中,OD100,CD150,CDO60,由余弦定理可得OC210021502210015017 500,OC50.答案 503某人向正东方向走x km后,他向右转150,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好 km,那么x的值为_解析如图,在ABC中,ABx,BC3,AC,ABC30,由余弦定理得()232x223xcos 30,即x23x60,解得x1,x22,经检测均合题意答案或24. 如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在这一岸定一基线CD,现已测出CDa和ACD60,BCD30,BDC105,ADC60,则AB的长为_解析在ACD中,已知CDa,ACD60,ADC60,所以ACa.在BCD中,由正弦定理可得BCa.在ABC中,已经求得AC和BC,又因为ACB30,所以利用余弦定理可以求得A,B两点之间的距离为ABa.答案a5一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B、C两点间的距离是_解析 如图所示,由已知条件可得,CAB30,ABC105,即AB4020(海里)BCA45.由正弦定理可得:.BC10(海里)答案 10(海里)6已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得ABC120,则A、C两地的距离为_km.答案 107如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB45,CAB105后,就可以计算A、B两点的距离为_m.答案 508如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30,经过1 min后又看到山顶的俯角为75,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)_解析AB1 0001 000 (m),BCsin 30 (m)航线离山顶hsin 7511.4 (km)山高为1811.46.6 (km)答案6.6 km9已知等腰三角形腰上的中线长为,则该三角形的面积的最大值是_解析如图,设ABAC2x,则在ABD中,由余弦定理,得3x24x24x2cos A,所以cos A.所以sin A,所以SABC(2x)2sin A.故当x2时,(SABC)max 2.答案210已知ABC中,B45,AC4,则ABC面积的最大值为_解析法一如图,设ABC的外接圆为圆O,其直径2R4.取AC的中点M,则OMRcos 452,则AC4.过点B作BHAC于H,要使ABC的面积最大,当且仅当BH最大而BHBOOM,所以BHRR22,所以(SABC)maxACBHmax4(22)44,当且仅当BABC时取等号法二如图,同上易知,ABC的外接圆的直径2R4.SABCABBCsin B2R2sin Asin Bsin C8sin Asin C4.当AC67.5时,(SABC)max44.答案44二、解答题11如图,在半径为、圆心角为60的扇形的弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在OA上,点N、M在OB上,设矩形PNMQ的面积为y,(1)按下列要求写出函数的关系式:设PNx,将y表示成x的函数关系式;设POB,将y表示成的函数关系式;(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出y的最大值解(1)ON,OMx,MNx,yx,x.PNsin ,ONcos ,OMsin sin ,MNONOMcos sin ,ysin (cos sin ),即y3sin cos sin2,.(2)选择y3sin cos sin2sin,2,ymax.12如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距10海里问:乙船每小时航行多少海里?解:如图所示,连接A1B2,由已知A2B210,A1A23010,A1A2A2B2.又A1A2B218012060,A1A2B2是等边三角形,A1B2A1A210.由已知,A1B120,B1A1B21056045,在A1B2B1中,由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200,B1B210.因此,乙船的速度为6030(海里/小时)13. 如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船,接到信号后乙船朝北偏东方向沿直线前往B处救援,问的正弦值为多少?解如题图,在ABC中,AB20海里,AC10海里,BAC120,由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcos 12020210222010700.BC10海里由正弦定理,sinACBsinBACsin 120.sin sin(30ACB)sin 30cosACBcos 30sinACB.乙船应沿北偏东sin 的方向沿直线前往B处救援14某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在l上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现有材料,边BC,CD用一根5米长的材料弯折而成,边BA、AD用一根9米长的材料弯折而成,要求A和C互补,且ABBC.(1)设ABx米,cos Af(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范围;(2)求四边形ABCD面积的最大值解(1)在ABD中,由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos A.同理,在CBD中,BD2CB2CD22CBCDcos C.因为A和C互补,所以AB2AD22ABADcos ACB2CD22CBCDcos CCB2CD22CBCDcos A.即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A解得cos A,即f(x),其中x(2,5)(2)四边形ABCD的面积S(ABADCBCD)sin Ax(9x)x(5x)x(7x) .记g(x)(x24)(x214x49),x(2,5)由g(x)2x(x214x49)(x24)(2x14)2(x7)(2x27x4)0,解得x4.函数g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减因此g(x)的最大值为g(4)129108.所以S的最大值为6.答:所求四边形ABCD面积的最大值为6 m2.
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