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6.3等比数列及其前n项和1等比数列的定义如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项ana1qn1.3等比中项若G2ab (ab0),那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:anamqnm(n,mN*)(2)若an为等比数列,且klmn (k,l,m,nN*),则akalaman.(3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0),a,anbn,仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q1时,Snna1;当q1时,Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比数列,其公比为 qn .【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a,b的等比中项G2ab.()(3)如果an为等比数列,bna2n1a2n,则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列,则数列ln an是等差数列()(5)等比数列an的首项为a,公比为1,前n项和为Sn,则S2n0,S2n1a.()(6)1bb2b3b4b5.()1(2013江西改编)等比数列x,3x3,6x6,的第四项为 答案24解析由x,3x3,6x6成等比数列得,(3x3)2x(6x6)解得x13或x21(不合题意,舍去)故数列的第四项为24.2已知an为等比数列,a4a72,a5a68,则a1a10 .答案7解析方法一由题意得或a1a10a1(1q9)7.方法二由,解得或或a1a10a1(1q9)7.3(2014江苏)在各项均为正数的等比数列an中,若a21,a8a62a4,则a6的值是 答案4解析因为a8a2q6,a6a2q4,a4a2q2,所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2,消去a2q2,得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220,解得q22,a6a2q41224.4(2013北京)若等比数列an满足a2a420,a3a540,则公比q ;前n项和Sn .答案22n12解析设等比数列的公比为q,由a2a420,a3a540.得20q40,且a1qa1q320,解得q2,且a12.因此Sn2n12.题型一等比数列基本量的运算例1(1)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和已知a2a41,S37,则S5 .(2)在等比数列an中,若a4a26,a5a115,则a3 .答案(1)(2)4或4解析(1)显然公比q1,由题意得解得或(舍去),S5.(2)设等比数列an的公比为q(q0),则两式相除,得,即2q25q20,解得q2或q.所以或故a34或a34.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解(1)已知正项数列an为等比数列,且5a2是a4与3a3的等差中项,若a22,则该数列的前5项的和为 (2)(2014天津)设an是首项为a1,公差为1的等差数列,Sn为其前n项和若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为 答案(1)31(2)解析(1)设an的公比为q,q0.由已知得a43a325a2,即a2q23a2q10a2,q23q100,解得q2或q5(舍去),又a22,则a11,所以S531.(2)因为等差数列an的前n项和为Snna1d,所以S1,S2,S4分别为a1,2a11,4a16.因为S1,S2,S4成等比数列,所以(2a11)2a1(4a16),解方程得a1.题型二等比数列的性质及应用例2(1)在等比数列an中,各项均为正值,且a6a10a3a541,a4a85,则a4a8 .(2)等比数列an的首项a11,前n项和为Sn,若,则公比q .答案(1)(2)解析(1)由a6a10a3a541及a6a10a,a3a5a,得aa41.因为a4a85,所以(a4a8)2a2a4a8a412551.又an0,所以a4a8.(2)由,a11知公比q1,则可得.由等比数列前n项和的性质知S5,S10S5,S15S10成等比数列,且公比为q5,故q5,q.思维升华(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若mnpq,则amanapaq”,可以减少运算量,提高解题速度(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形此外,解题时注意设而不求思想的运用(1)设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S312,则S9S3 .(2)在等比数列an中,若a1a2a3a41,a13a14a15a168,则a41a42a43a44 .(3)设数列an、bn都是正项等比数列,Sn、Tn分别为数列lg an与lg bn的前n项和,且,则logb5a5 .答案(1)34(2)1 024(3)解析(1)由等比数列的性质:S3,S6S3,S9S6仍成等比数列,于是(S6S3)2S3(S9S6),将S6S3代入得.(2)方法一a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61,a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548,:q488q162,又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024.方法二由性质可知,依次4项的积为等比数列,设公比为p,设T1a1a2a3a41,T4a13a14a15a168,T4T1p31p38p2.T11a41a42a43a44T1p102101 024.(3)由题意知logb5a5.题型三等比数列的判定与证明例3已知数列an的前n项和为Sn,且anSnn.(1)设cnan1,求证:cn是等比数列;(2)求数列an的通项公式(1)证明anSnn,an1Sn1n1.得an1anan11,2an1an1,2(an11)an1,an1是等比数列又a1a11,a1,cnan1,首项c1a11,c1,公比q.cn是以为首项,以为公比的等比数列(2)解由(1)可知cnn1n,an1n.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证设数列an的前n项和为Sn,已知a11,Sn14an2.(1)设bnan12an,证明:数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2,有a1a2S24a12.a25,b1a22a13.又,得an14an4an1,an12an2(an2an1)bnan12an,bn2bn1,故bn是首项b13,公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an32n1,故是首项为,公差为的等差数列(n1),得an(3n1)2n2.分类讨论思想在等比数列中的应用典例:(14分)(2013天津)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*),且2S2,S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)证明:Sn(nN*)思维点拨(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;(2)求出前n项和,根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q,因为2S2,S3,4S4成等差数列,所以S32S24S4S3,即S4S3S2S4,可得2a4a3,于是q.3分又a1,所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.5分(2)证明由(1)知,Sn1n,Sn1n8分当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,所以SnS1.10分当n为偶数时,Sn随n的增大而减小,所以SnS2.12分故对于nN*,有Sn.14分温馨提醒(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有:已知Sn与an的关系,要分n1,n2两种情况等比数列中遇到求和问题要分公比q1,q1讨论项数的奇、偶数讨论等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论(2)数列与函数有密切的联系,证明与数列有关的不等式,一般是求数列中的最大项或最小项,可以利用图象或者数列的增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.方法与技巧1已知等比数列an(1)数列can(c0),|an|,a,也是等比数列(2)a1ana2an1amanm1.2判断数列为等比数列的方法(1)定义法:q(q是不等于0的常数,nN*)数列an是等比数列;也可用q(q是不等于0的常数,nN*,n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的,其区别只是n的初始值不同(2)等比中项法:aanan2(anan1an20,nN*)数列an是等比数列3解题中要注意选用等比数列的性质,减少运算量失误与防范1注意等比数列中的分类讨论2由a
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