8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 1四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角) 范围：. 3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况 4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 5定理 (1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 (2)过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.( ) (2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线( ) (3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A.( ) (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( ) (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面( ) 1下列命题正确的个数为_ 梯形可以确定一个平面； 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 答案 2 解析 中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确 2(2014广东改编)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是_ l1l4； l1l4； l1与l4既不垂直也不平行； l1与l4的位置关系不确定 答案 解析 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除和.若l4DC1，也满足条件，此时l1与l4相交，可以排除.故l1与l4的位置关系不确定 3(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCDEFGH中，AB2，AD2，AE2，则BC和EG所成角的大小是_，AE和BG所成角的大小是_ 答案 45 60 解析 BC与EG所成的角等于AC与BC所成的角即ACB，tanACB1，ACB45， AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即GBF，tanGBF，GBF60. 4已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD) 其中正确的是_ 答案 解析 如图，取BC的中点O， 连结MO、NO， 则OMAC，ONBD， 在MON中，MNOMON (ACBD)，正确. 题型一 平面基本性质的应用 例1 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点 思维点拨 第(2)问先证CE与D1F交于一点，再证该点在直线DA上 证明 (1)连结EF，CD1，A1B. E、F分别是AB、AA1的中点， EFBA1. 又A1BD1C，EFCD1， E、C、D1、F四点共面 (2)EFCD1，EFCD1， CE与D1F必相交， 设交点为P， 则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直线DA.CE、D1F、DA三线共点 思维升华 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据 如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BCAD，BEAF且BEAF，G、H分别为FA、FD的中点 (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FGGA，FHHD， 可得GH綊AD. 又BC綊AD，GH綊BC. 四边形BCHG为平行四边形 (2)解 BE綊AF，G是FA的中点，BE綊FG， 四边形BEFG为平行四边形，EFBG. 由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面 又DFH，C、D、F、E四点共面 题型二 判断空间两直线的位置关系 例2 (1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是_ MN与CC1垂直； MN与AC垂直； MN与BD平行； MN与A1B1平行 (2)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 思维点拨 (1)连结B1C，B1D1，则点M点是B1C的中点，证明MNB1D1；(2)先判断直线GH、MN是否共面，若不共面，再利用异面直线的判定定理判定 答案 (1) (2) 解析 (1)连结B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1， CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1， MNCC1，MNAC，MNBD. 又A1B1与B1D1相交， MN与A1B1不平行 (2)图中，直线GHMN； 图中，G、H、N三点共面，但M面GHN， 因此直线GH与MN异面； 图中，连结MG，GMHN，因此GH与MN共面； 图中，G、M、N共面，但H面GMN， 因此GH与MN异面 所以图中GH与MN异面 思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决 如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，Aa，Ba，Cb，Dc，求证：AD与BC是异面直线 证明 方法一 假设AD和BC共面，所确定的平面为，那么点P、A、B、C、D都在平面内， 直线a、b、c都在平面内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立， AD和BC是异面直线 方法二 (直接证法)acP，它们确定一个平面， 设为，由已知C平面，B平面，BC平面，AD平面，BAD， AD和BC是异面直线 题型三 求两条异面直线所成的角 例3 空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小 思维点拨 取AC中点，利用三角形中位线的性质作出所求角 解 取AC的中点G，连结EG、FG， 则EG綊AB，FG綊CD， 由ABCD知EGFG， GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角 AB与CD所成的角为30， EGF30或150. 由EGFG知EFG为等腰三角形， 当EGF30时，GEF75； 当EGF150时，GEF15. 故EF与AB所成的角为15或75. 思维升华 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移 (2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解 (1)(2014大纲全国改编)已知正四面体(各面均为正三角形)ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_ (2)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为_ 答案 (1) (2)60 解析 (1)画出正四面体ABCD的直观图，如图所示 设其棱长为2，取AD的中点F，连结EF， 设EF的中点为O，连结CO， 则EFBD， 则FEC就是异面直线CE与BD所成的角 ABC为等边三角形，则CEAB， 易得CE， 同理可得CF， 故CECF. 因为OEOF，所以COEF. 又EOEFBD， 所以cosFEC. (2)如图，可补成一个正方体， AC1BD1. BA1与AC1所成角的大小为A1BD1. 又易知A1BD1为正三角形， A1BD160. 即BA1与AC1成60的角 构造模型判断空间线面位置关系 典例：已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题： 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，mn，则； 若m，n，则mn. 其中所有正确的命题是_ 思维点拨 构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系 解析 借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn. 答案 温馨提醒 (1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断 方法与技巧 1主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”) (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线 2判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线 (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面 3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解 失误与防范 1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内” 2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件