14.4不等式选讲1两个实数大小关系的基本事实abab0；abab0；ababb，那么ba；如果bb.即abbb，bc，那么ac.(3)可加性：如果ab，那么acbc.(4)可乘性：如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb0，那么anbn(nN，n1)(6)开方：如果ab0，那么(nN，n1)3绝对值三角不等式(1)性质1：|ab|a|b|.(2)性质2：|a|b|ab|.性质3：|a|b|ab|a|b|.4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)和|axb|c (c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想5基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2)定理(基本不等式)：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立也可以表述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值对两个正实数x，y，如果它们的和S是定值，则当且仅当xy时，它们的积P取得最大值；如果它们的积P是定值，则当且仅当xy时，它们的和S取得最小值6三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么，当且仅当abc时，等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立7柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立8证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道abab0，ababb，只要证明ab0即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切自然数成立1不等式|2x1|x2|0的解集为_答案x|1x1解析方法一原不等式即为|2x1|x2|，4x24x1x24x4，3x23，1x1.方法二原不等式等价于不等式组或或不等式组无解，由得x1，由得1x.综上得1x1，所以原不等式的解集为x|1x12不等式1|x1|3的解集为_答案(4，2)(0,2)3(2013福建改编)设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A.则a的值为_答案1解析因为A，且A，所以|2|a，且|2|a，解得a.又因为aN*，所以a1.4(2014重庆)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案1，解析设y|2x1|x2|当x5；当2x；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范围为1，.题型一含绝对值的不等式的解法例1已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0思维升华解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解(1)(2014广东)不等式|x1|x2|5的解集为_(2)(2014湖南)若关于x的不等式|ax2|3的解集为x|x，则a_.答案(1)x|x3或x2(2)3解析(1)方法一要去掉绝对值符号，需要对x与2和1进行大小比较，2和1可以把数轴分成三部分当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2方法二|x1|x2|表示数轴上的点x到点1和点2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点2的距离的和为5的点有3和2，故满足不等式|x1|x2|5的x的取值为x3或x2，所以不等式的解集为x|x3或x2(2)|ax2|3，1ax0时，x，与已知条件不符；当a0时，xR，与已知条件不符；当a0时，x，又不等式的解集为x|xy，求证：2x2y3.(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.证明(1)因为x0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立所以原不等式成立绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x1|x1|3.思维点拨本题不等式为|xa|xb|c型不等式，解此类不等式有