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14.4不等式选讲1两个实数大小关系的基本事实abab0;abab0;ababb,那么ba;如果bb.即abbb,bc,那么ac.(3)可加性:如果ab,那么acbc.(4)可乘性:如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么acb0,那么anbn(nN,n1)(6)开方:如果ab0,那么(nN,n1)3绝对值三角不等式(1)性质1:|ab|a|b|.(2)性质2:|a|b|ab|.性质3:|a|b|ab|a|b|.4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)和|axb|c (c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc;|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想5基本不等式(1)定理:如果a,bR,那么a2b22ab,当且仅当ab时,等号成立(2)定理(基本不等式):如果a,b0,那么,当且仅当ab时,等号成立也可以表述为:两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值对两个正实数x,y,如果它们的和S是定值,则当且仅当xy时,它们的积P取得最大值;如果它们的积P是定值,则当且仅当xy时,它们的和S取得最小值6三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果a,b,c均为正数,那么,当且仅当abc时,等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当a1a2an时,等号成立7柯西不等式(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当adbc时等号成立(2)设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2,当且仅当bi0(i1,2,n)或存在一个数k,使得aikbi(i1,2,n)时,等号成立(3)柯西不等式的向量形式:设,是两个向量,则|,当且仅当是零向量,或存在实数k,使k时,等号成立8证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道abab0,ababb,只要证明ab0即可,这种方法称为求差比较法求商比较法由ab01且a0,b0,因此当a0,b0时要证明ab,只要证明1即可,这种方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步:作出与所证不等式相反的假设;第二步:从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法,即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设Pn是一个与自然数相关的命题集合,如果:(1)证明起始命题P1(或P0)成立;(2)在假设Pk成立的前提下,推出Pk1也成立,那么可以断定Pn对一切自然数成立1不等式|2x1|x2|0的解集为_答案x|1x1解析方法一原不等式即为|2x1|x2|,4x24x1x24x4,3x23,1x1.方法二原不等式等价于不等式组或或不等式组无解,由得x1,由得1x.综上得1x1,所以原不等式的解集为x|1x12不等式1|x1|3的解集为_答案(4,2)(0,2)3(2013福建改编)设不等式|x2|a(aN*)的解集为A,且A,A.则a的值为_答案1解析因为A,且A,所以|2|a,且|2|a,解得a.又因为aN*,所以a1.4(2014重庆)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是_答案1,解析设y|2x1|x2|当x5;当2x;当x时,y3x1,故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立,所以a2a2.解不等式a2a2,得1a,故a的取值范围为1,.题型一含绝对值的不等式的解法例1已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时,求不等式f(x)3的解集;(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2,求a的取值范围解(1)当a3时,f(x)当x2时,由f(x)3得2x53,解得x1;当2x3时,f(x)3无解;当x3时,由f(x)3得2x53,解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时,|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2,即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0思维升华解绝对值不等式的基本方法:(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式;(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式;(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解(1)(2014广东)不等式|x1|x2|5的解集为_(2)(2014湖南)若关于x的不等式|ax2|3的解集为x|x,则a_.答案(1)x|x3或x2(2)3解析(1)方法一要去掉绝对值符号,需要对x与2和1进行大小比较,2和1可以把数轴分成三部分当x2时,不等式等价于(x1)(x2)5,解得x3;当2x1时,不等式等价于(x1)(x2)5,即35,无解;当x1时,不等式等价于x1x25,解得x2.综上,不等式的解集为x|x3或x2方法二|x1|x2|表示数轴上的点x到点1和点2的距离的和,如图所示,数轴上到点1和点2的距离的和为5的点有3和2,故满足不等式|x1|x2|5的x的取值为x3或x2,所以不等式的解集为x|x3或x2(2)|ax2|3,1ax0时,x,与已知条件不符;当a0时,xR,与已知条件不符;当a0时,x,又不等式的解集为x|xy,求证:2x2y3.(2)设a,b,c0且abbcca1,求证:abc.证明(1)因为x0,y0,xy0,2x2y2(xy)(xy)(xy)33,所以2x2y3.(2)因为a,b,c0,所以要证abc,只需证明(abc)23.即证:a2b2c22(abbcca)3,而abbcca1,故需证明:a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证:a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立所以原不等式成立绝对值不等式的解法典例:(10分)解不等式|x1|x1|3.思维点拨本题不等式为|xa|xb|c型不等式,解此类不等式有
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