9.7抛物线1抛物线的概念平面内到一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下知识拓展1抛物线y22px (p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离PFx0，也称为抛物线的焦半径2y2ax的焦点坐标为，准线方程为x.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长ABx1x2p.()1若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_答案解析M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.2设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_答案1,1解析Q(2,0)，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k1.3已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM_.答案2解析由题意设抛物线方程为y22px(p0)，则M到焦点的距离为xM23，p2，y24x.y428，OM2.4若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_答案4解析因为椭圆1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y22px的焦点为(2,0)，则p4.题型一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求出取最小值时点P的坐标思维点拨PF等于P点到准线的距离解将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部，如图设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知PAPFPAd，当PAl时，PAd最小，最小值为，即PAPF的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2)思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径(2014课标全国改编)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则QF_.答案3解析4，|4|，.如图，过Q作QQl，垂足为Q，设l与x轴的交点为A，则AF4，QQ3，根据抛物线定义可知QQQF3.题型二抛物线的标准方程和几何性质例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2y29相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程思维点拨先确定方程的形式设出方程，再由已知条件求出参数解由题意，得抛物线方程为x22ay (a0)设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧，则MAAN，而AN.ON3，OA2，N(，2)N点在抛物线上，52a(2)，即2a，故抛物线的方程为x2y或x2y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.抛物线x2y的焦点坐标为，准线方程为y.思维升华(1)抛物线有四种不同形式的标准方程，要掌握焦点与准线的距离，顶点与准线、焦点的距离，通径与标准方程中系数2p的关系(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)(3)焦点到准线的距离，简称焦距，抛物线y22px(p0)上的点常设为(，y)，便于简化计算(2013福建)如图，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，CO为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求MN；(2)若AF2AMAN，求圆C的半径解(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，所以点C到准线l的距离d2，又CO，所以MN222.(2)设C(，y0)，则圆C的方程为(x)2(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，设M(1，y1)，N(1，y2)，则由AF2AMAN，得|y1y2|4，所以14，解得y0，此时0.所以圆心C的坐标为(，)或(，)，从而CO2，CO，即圆C的半径为.题型三抛物线焦点弦的性质例3设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.思维点拨证明kOCkOA.证明方法一设AB：xmy，代入y22px，得y22pmyp20.由根与系数的关系，得yAyBp2，即yB.BCx轴，且C在准线x上，C(，yB)则kOCkOA.直线AC经过原点O.方法二如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作ADl，垂足为D.则ADEFBC.连结AC交EF于点N，则，.AFAD，BFBC，ENNF，即N是EF的中点，从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.思维升华解决与抛物线的焦点有关的问题，常用到以下结论：x1x2，y1y2p2.ABx1x2p(AB为弦长，为AB的倾斜角).恰当运用这些结论，就会带来意想不到的效果，特别是在解填空题时可以直接应用已知抛物线C：y22px (p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M、N两点，且MN8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l是抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，求的最小值解(1)由题意可知F，则该直线方程为yx，代入y22px (p0)，得：x23px0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x23p.MN8，x1x2p8，即3pp8，解得p2.抛物线的方程为y24x.(2)设l方程为yxb，代入y24x，得x2(2b4)xb20，l为抛物线C的切线，(2b4)24b20，解得b1，l方程为yx1.由(1)可知：x1x26，x1x21.由P(m，m1)，则(x1m，y1(m1)，(x2m，y2(m1)，(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.x1x26，x1x21，(y1y2)216x1x216，y1y24，yy4(x1x2)，y1y244，16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714.当且仅当m2，即点P的坐标为(2,3)时，的最小值为14.题型四直线与抛物线的综合性问题例4已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由思维点拨(3)中证明0.解(1)抛物线C：x2y，它的焦点为F(0，)(2)RFyR，23，得m.(3)存在，联立方程消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0m.设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)P是线段AB的中点，P(，)，即P(，yP)，Q(，)得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，结合(*)化简得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，)存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式ABx1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解(2014大纲全国)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QFPQ.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程解(1)设Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以PQ，QFx0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21,2m)，AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2