9.9曲线与方程1曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)(3)列式列出动点P所满足的关系式(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程3两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“f(x0，y0)0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上”的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(4)方程y与xy2表示同一曲线()1方程(x2y24)0的曲线形状是下列中的_(填序号)答案解析由题意可得xy10或它表示直线xy10和圆x2y240在直线xy10右上方的部分2已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且PMMQ，则Q点的轨迹方程是_答案2xy50解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.3设定点F1(0，3)，F2(0,3)，动点P满足条件PF1PF2a (a0)，则点P的轨迹是_答案椭圆或线段解析a26.当a3时，a6，此时PF1PF2F1F2，P点的轨迹为线段F1F2，当a3时，PF1PF2F1F2.由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆4已知M(2,0)，N(2,0)，PMPN4，则动点P的轨迹是_答案射线解析MN4，PMPNMN.P点的轨迹是射线.题型一定义法求轨迹方程例1已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O24.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线思维点拨利用两圆相切的几何性质得出M的等量关系，结合圆锥曲线定义求方程解如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由O1O24，得O1(2,0)、O2(2,0)设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有MO1r1；由动圆M与圆O2外切，有MO2r2.MO2MO13.点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支a，c2，b2c2a2.点M的轨迹方程为1 (x)思维升华应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解如图所示，已知C为圆(x)2y24的圆心，点A(，0)，P是圆上的动点，点Q在直线CP上，且0，2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程解圆(x)2y24的圆心为C(，0)，半径r2，0，2，MQAP，点M是线段AP的中点，即MQ是AP的垂直平分线，连结AQ，则AQQP，|QCQA|QCQP|CPr2，又AC22，根据双曲线的定义，知点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2y21.题型二相关点法求轨迹方程例2设直线xy4a与抛物线y24ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程思维点拨利用重心G的坐标与点C的坐标的关系，代入抛物线方程解设ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程组：消去y并整理得：x212ax16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.G(x，y)为ABC的重心，又点C(x0，y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得：(3y4a)24a(3x12a)，即(y)2(x4a)又点C与A，B不重合，x(62)a，ABC的重心的轨迹方程为(y)2(x4a)(x(62)a)思维升华“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.题型三直接法求轨迹方程例3(2013陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l过定点思维点拨(1)利用曲线的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得O1AO1M，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，O1M，又O1A，化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0.将，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)思维升华直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性如图所示，A(m，m)和B(n，n)两点分别在射线OS，OT(点S、T分别在第一、四象限)上移动，且，O为坐标原点，动点P满足.(1)求mn的值；(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解(1)(m，m)(n，n)2mn，mn.(2)设P(x，y) (x0)，由，得(x，y)(m，m)(n，n)(mn，mn)整理得x24mn，又mn，P点的轨迹方程为x21 (x0)它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x21的右支利用参数法求轨迹方程典例：(14分)(2013福建)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，A9和B1，B2，B9，连结OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*,1i9)(1)求证：点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若OCM与OCN的面积比为41，求直线l的方程思维点拨(1)设Ai的坐标为(i,0)，则Bi的坐标为(10，i)，可用i表示点P的坐标，得出P的参数方程(2)设直线l的斜率为k，将直线l的方程与抛物线的方程联立，寻找M，N两点坐标之间的关系，再由面积之比即可求出k的值规范解答方法一解(1)依题意，过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.2分设Pi的坐标为(x，y)，由得yx2，即x210y.所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.6分(2)依题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx10.由得x210kx1000，此时100k24000，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.10分设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则因为SOCMSOCN41，所以SOCM4SOCN，所以|x1|4|x2|.又x1x20，所以x14x2，把代入和，得解得k.12分所以直线l的方程为yx10，即3x2y200或3x2y200.14分方法二解(1)点Pi(iN*,1i9)都在抛物线E：x210y上证明如下：过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为xi，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为yx.2分由解得Pi的坐标为(i，)，因为点Pi的坐标都满足方程x210y，所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x210y.6分(2)同方法一：温馨提醒参数法求轨迹方程的步骤：(1)选取参数k，用k表示动点M的坐标(2)得出动点M的参数方程(3)消去参数k，得m的轨迹方程(4)由k的范围确定x，y的范围.方法与技巧求轨迹的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且