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第3讲用导数研究函数的最值一、填空题1函数f(x)2x43x21在区间上的最大值和最小值分别是_解析 令f(x)8x36x0,得x0或x,x0及x不合题意,舍去f231,f,f(2)21.原函数的最大值为f(2)21,最小值为f.答案 21,2已知a0,函数f(x)x3ax在1,)上单调递增,则a的最大值是_解析因为f(x)3x2a,所以由题意可得在1,)上有3x2a0恒成立,所以a(3x2)min,而(3x2)min3,所以a3.答案33函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值,则实数a的取值范围是_解析由f(x)x21,易知f(x)在(,1)上递减,在(1,1)上递增,在(1,)上递减故函数在(a,10a2)上存在最大值的条件为答案2,1)4若函数f(x)(a0)在1,)上的最大值为,则a的值为_答案15设函数f(x)x32x5,若对任意x1,2,都有f(x)m,则实数m的取值范围是_解析f(x)3x2x20,解得x1或,f(1),f,f(1),f(2)7.m.答案6函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为_解析f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x,当0x时,f(x)0,且只有在x时,f(x)0,f(x)是上的增函数,f(x)的最大值为fe,f(x)的最小值为f(0).f(x)在上的值域为.答案7已知曲线f(x)ax2bxc(a0,b,cR)通过点P(0,2a28),在点Q(1,f(1)处的切线垂直于y轴,则的最小值为_解析由已知曲线f(x)ax2bxc(a0,b,cR)通过点P(0,2a28)知c2a28.又知其在点Q(1,f(1)处的切线垂直于y轴,f(1)0,即2ab0.a.a0,a4,即的最小值为4.答案48已知函数f(x)的图象过点(0,5),它的导数f(x)4x34x,则当f(x)取得极大值5时,x的值应为_解析易知f(x)x42x25,f(x)0时,x0或x1,只有f(0)5.答案09已知a为实数,函数f(x)(x21)(xa)若f(1)0,则函数yf(x)在上的最大值和最小值分别为_解析f(1)0,32a10,即a2.f(x)3x24x13(x1)由f(x)0,得x1或x;由f(x)0,得1x.因此,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.f(x)在x1处取得极大值为f(1)2;f(x)在x处取得极小值为f.又f,f(1)6,且,f(x)在上的最大值为f(1)6,最小值为f.答案6;10已知|a|2|b|0,且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值,则a与b的夹角范围为_解析f(x)x2|a|xab,f(x)0的|a|24ab0,cosa,b,又ycos 在(0,)上是递减的,a,b.答案二、解答题11已知函数f(x)ax3bxc在点x2处取得极值c16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在3,3上的最小值解 (1)因为f(x)ax3bxc,故f(x)3ax2b,由于f(x)在点x2处取得极值c16,故有即12ab0,8a2bcc16,化简得解得(2)由(1)知f(x)x312xc;f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0,得x12,x22.当x(,2)时,f(x)0,故f(x)在(,2)上为增函数;当x(2,2)时,f(x)0,故f(x)在(2,2)上为减函数;当x(2,)时,f(x)0,故f(x)在(2,)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c,f(x)在x12处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28,解得c12.此时f(3)9c21,f(3)9c3,f(2)16c4,因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.12已知函数f(x)(xR)(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)已知函数yg(x)对任意x满足g(x)f(4x),证明当x2时,f(x)g(x);(3)如果x1x2,且f(x1)f(x2),证明x1x24.(1)解由f(x)得f(x).令f(x)0,解得x2,则f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,2)2(2,)f(x)0f(x)增极大值减所以f(x)在(,2)内是增函数,在(2,)内是减函数函数f(x)在x2时取得极大值f(2).(2)证明因为g(x)f(4x),所以g(x).令F(x)f(x)g(x),即F(x),则F(x).当x2时,2x0,2x13,从而e3e2x10,则函数F(x)0,F(x)在(2,)上是增函数所以F(x)F(2)0,故当x2时,f(x)g(x)成立(3)证明因为f(x)在(,2)内是增函数,在(2,)内是减函数x1x2,且f(x1)f(x2),所以x1,x2不可能在同一单调区间内,不妨设x12x2,由(2)可知f(x2)g(x2),又g(x2)f(4x2),所以f(x2)f(4x2),因为f(x1)f(x2),所以f(x1)f(4x2),因为x22,4x22,x12,f(x)在区间(,2)内为增函数,故x14x2,即x1x24.13已知f(x)2xln x,g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若存在x(0,),使f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围;(3)证明对一切x(0,),都有f(x)2成立(1)解f(x)的定义域为(0,),f(x)2(ln x1)令f(x)0,得x.当x时,f(x)0;当x时,f(x)0.所以f(x)在上单调递减;在上单调递增故当x时,f(x)取最小值为.(2)解存在x(0,),使f(x)g(x)成立,即2xln xx2ax3在x(0,)能成立,等价于a2ln xx在x(0,)能成立,等价于a(2ln xx)min.记h(x)2ln xx,x(0,),则h(x)1.当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,)时,h(x)0.所以当x1时,h(x)取最小值为4,故a4.(3)证明记j(x)2,x(0,),则j(x)2.当x(0,1)时,j(x)0;当x(1,)时,j(x)0.所以当x1时,j(x)取最大值为.又由(1)知,当x时,f(x)取最小值为,故对一切x(0,),都有f(x)2成立14已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1,f(1)0. (1)求a的取值范围;(2)设g(x)f(x)f(x),求g(x)在0,1上的最大值和最小值解(1)由f(0)1,f(1)0,得c1,ab1,则f(x)ax2(a1)x1ex,f(x)ax2(a1)xaex,依题意需对任意x(0,1),有f(x)0时,因为二次函数yax2(a1)xa的图象开口向上,而f(0)a0,所以需f(1)(a1)e0,即0a1.当a1时,对任意x(0,1)有f(x)(x21)ex0,f(x)符合条件;当a0时,对任意x(0,1),f(x)xex0,f(x)符合条件;当a0,f(x)不符合条件故a的取值范围为0a1.(2)因为g(x)(2ax1a)ex,所以g(x)(2ax1a)ex.(i)当a0时,g(x)ex0,g(x)在x0处取得最小值g(0)1,在x1处取得最大值g(1)e.(ii)当a1时,对于任意x(0,1)有g(x)2xex0,g(x)在x0处取得最大值g(0)2,在x1处取得最小值g(1)0.(iii)当0a0.若1,即0a时,g(x)在0,1上单调递增,g(x)在x0处取得最小值g(0)1a,在x1处取得最大值g(1)(1a)e.若1,即a1时,g(x)在x处取得最大值g2ae,在x0或x1处取得最小值而g(0)1a,g(1)(1a)e,则当a时,g(x)在x0处取得最小值g(0)1a;当a1时,g(x)在x1处取得最小值g(1)(1a)e.
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