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湛江一中2015-2016学年度第一学期第二次考试高二级理科数学试卷考试时间:120分钟 满分:150分一选择题:共12小题,每小题5分,共60分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项1“至多有三个”的否定为( )A至少有三个 B至少有四个 C 有三个 D有四个2如果命题“ ”是假命题,则下列说法正确的是()A 均为真命题 B中至少有一个为真命题C均为假命题 D至少有一个为假命题3“ ”是“ ”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4已知椭圆的焦点是,是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是( )A圆B 椭圆 C双曲线的一支 D 抛物线5“” 是“方程 表示的曲线为焦点在轴上的椭圆”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,则线段 的中点到轴的距离为()A B C D 7已知双曲线的焦距为,点在的渐近线上,则的方程为()A B C D 8若圆心在轴上,半径为的圆位于轴左侧,且被直线截得的弦长为,则圆的方程是()A BC D 9已知 ,则有()A最大值为 B最小值为 C最大值为 D最小值为 10在以为中心, 为焦点的椭圆上存在一点,满足,则该椭圆的离心率为()A B C D 11已知为椭圆上的一点,分别为圆和圆上的点,则的最小值为()A5 B7 C13 D1512点在直线上,若存在过点的直线交抛物线于两点,且 ,则称点为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A直线 上的所有点都是“ 点” B直线上仅有有限个点是“ 点” C直线 上的所有点都不是“ 点” D直线 上有无穷多个点(不是所有的点)是“ 点”二填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分13设 满足约束条件,则的取值范围为_. 14. 已知双曲线的右焦点的坐标为 ,则该双曲线的渐近线方程为_. 15过焦点为的抛物线上一点向其准线作垂线,垂足为,若,则 16 . 若关于的不等式对任意在 上恒成立,则实常数的取值范围是_ 三.解答题:共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17(本小题满分10分) 已知命题“”,命题“”若命题“ ”是真命题,求实数的取值范围18(本小题满分12分) 在中,, .(1)求的值; (2)设 ,求的面积19(本小题满分12分) 已知双曲线的中心在原点,焦点 在坐标轴上,离心率为 ,且过点点 在双曲线上(1)求双曲线方程;(2)求证:;(3)求 的面积20(本小题满分12分) 设数列的前项和,数列的前项和为,满足(1) 求的值;(2) 求数列的通项公式B第21题图xyOAQP 21. (本小题满分12分) 如图, 直线与抛物线交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线交于Q点.(1) 求点Q的坐标;(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求面积的最大值.22.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,直线与轴交于点,与椭圆交于两点 第22题图xOy BPEA (1)若点的坐标为 ,点在第一象限且横坐标为,连结点与原点的直线交椭圆于另一点,求的面积;(2)是否存在点 ,使得 为定值?若存在,请指出点的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由第18题湛江一中2015-2016学年度第一学期第二次考试高二级理科数学参考答案一选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。1B 2B 3A 4A 5B 6C 7A 8B 9C 10C 11B 12A12解:设 ,则 ,在上, 消去,整理得关于的方程 (1) 恒成立,方程(1)恒有实数解,应选A. 第卷二填空题:本大题共四小题,每小题5分1314151616 .解:由题意得 , 或 .又,三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17解: , 3分,则 , 得 或 . -6分若“ ”是真命题,则是真命题且是真命题, -8分即或, 或 . 10分18.解:(1)由,且,2分, 3分, 5分又, 6分(2)由正弦定理得 7分, 9分又 11分 12分19.解:(1) , 1分可设双曲线方程为 2分双曲线过点, ,即 3分双曲线方程为 . 4分(2)由(1)可知,在双曲线中 , , 5分 , 6分又点 在双曲线上, .7分 8分(3)由(2)知 为直角三角形又 ,或,由两点间距离公式得, 10分 即的面积为6. 12分20解:(1)当 ,由已知有 3分(2) 时有 4分-得: 5分再向后类推一次 6分-得: 则8分10分是以3为首项,公比为2的等比数列11分 12分21.解:(1) 解方程组 得或 -2分即, 从而AB的中点为. -3分 由 ,直线AB的垂直平分线方程 令 , 得 -4分 (2) 直线OQ的方程为 , 设. -5分 点P到直线OQ的距离=, -7分 ,=. -8分 P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 或. -10分 函数在区间 上单调递增, 当时,的面积取到最大值 . -12分第18题22.解:(1)将代入,解得, -1分因点在第一象限,从而,由点的坐标为,所以,直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,解得, -2分又过原点,于是,所以直线的方程为,所以点到直线的距离, -4分 -5分(2)假设存在点,使得为定值,设,当直线与轴重合时,有 -6分当直线与轴垂直时,-7分由,解得,所以若存在点,此时,为定值2 -8分根据对称性,只需考虑直线过点,设,又设直线的方程为,与椭圆联立方程组,化简得,所以, -9分又,所以,-11分将上述关系代入,化简可得综上所述,存在点,使得为定值2-12分
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