名校专题-圆锥曲线培优训练31、点P在以为焦点的双曲线上，已知，O为坐标原点（）求双曲线的离心率；（）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于两点，且，求双曲线E的方程；（）若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由解：（I）（II）渐近线为设，代入化简 （III）假设在轴上存在定点使，设联立与的方程得故由（3）即为，将（4）代入（1）（2）有代入（5）得故在轴上存在定点使。2、已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中 （1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围； （2）设A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围.解：（1）由于， 解得，从而所求椭圆的方程为 三点共线，而点N的坐标为（2，0）.设直线AB的方程为，其中k为直线AB的斜率，依条件知k0.由消去x得， 即根据条件可知 解得设，则根据韦达定理，得又由 从而 消去令，则由于 上的减函数，从而， 即， ，而因此直线AB的斜率的取值范围是（2）上半椭圆的方程为求导可得 ，所以两条切线的斜率分别为 解法一：切线PA的方程是又，从而切线PA的方程为 同理可得切线PB的方程为 由 可解得点P的坐标 再由 又由（1）知 ，因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是1， 解法二：设点P的从标为，则可得切线PA的方程是而点在此切线上，所以有即 所以有 ， 同理可得 根据和可知直线AB的方程为， 而直线AB过定点N（2，0）直线AB的方程为 又由（1）知 ，所以有因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是 。3、设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。 （）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标； （）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程； （）过点F（1，0）作直线l与（）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（）中的点）的取值范围。解：（）由题，得，设则由 又在双曲线上，则 联立、，解得 由题意， 点T的坐标为（2，0） 3分（）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）由A1、P、M三点共线，得 1分由A2、Q、M三点共线，得 1分联立、，解得 1分在双曲线上，轨迹E的方程为 1分（）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为 中，得 设 则由根与系数的关系，得 2分 有将式平方除以式，得 1分由 1分又故令 ，即 而 ， 4、在平面直角坐标系内有两个定点F1、F2和动点P，F1、F2的坐标分别为F1（1，0），F2（1，0），动点P满足动点P的轨迹为曲线C，曲线C关于直线y=x的对称曲线为曲线C，直线与曲线C交于A、B两点，O是C的对称中心，ABO的面积为。 （）求曲线C的方程； （）求m的值。解：（1）设P点坐标为（x,y）则所以曲线C的方程为（2）曲线C是以（3，0）为圆心，为半径的圆，曲线C也应该是一个半径为 的圆，点（3，0）关于直线y=x的对称点的坐标为（0，3），所以曲线C的方程为又O是C对称中心，则O（0，3）到直线的距离d为 所以，。5、 如图，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点、，点是弦的中点（）若，求点的轨迹方程；（）求的取值范围解：（）若直线轴，则点为； 设直线，并设点的坐标分别是，由消去，得 ， 由直线与椭圆有两个不同的交点，可得，即，所以 由及方程，得，即由于（否则，直线与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，代入到方程，得，整理，得（综上所述，点的轨迹方程为（ （）当轴时，分别是椭圆长轴的两个端点，则点在原点处，所以，所以，； 由方程，得所以，所以 因为，所以，所以，所以综上所述，6、 已知椭圆的焦点是，和，离心率为（1）求椭圆上的点到直线距离的最大值；（2）若P在椭圆上，求的面积解：设椭圆，半焦距为c，则椭圆方程为设椭圆上的点为，P到直线的距离，当且仅当时取“”（其中），椭圆上的点到直线的最大值为（2），又，即，7、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=1相切，点C在l上. （I）求动圆圆心的轨迹M的方程； （II）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A、B两点. （i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.图712（1）解法一，依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.解法二：设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，所以|x+1|=.化简得：y2=4x. （2）（i）由题意得，直线AB的方程为y=（x1）.由消y得3x210x+3=0，解得x1=，x2=3.所以A点坐标为（），B点坐标为（3，2），|AB|=x1+x2+2=.假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即由得42+（y+2）2=（）2+（y）2，解得y=.但y=不符合，所以由，组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形. （ii）解法一：设C（1，y）使ABC成钝角三角形，由得y=2，即当点C的坐标为（1，2）时，A、B、C三点共线，故y2.又|AC|2=（1）2+（y）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2， |AB|2=（）2=.当CAB为钝角时，cosA=|AC|2+|AB|2，即，即y时，CAB为钝角.当|AC|2|BC|2+|AB|2，即，即y|AC|2+|BC|2，即，即.该不等式无解，所以ACB不可能为钝角.因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.解法二：以AB为直径的圆的方程为（x）2+（y+）2=（）2.圆心（）到直线l：x=1的距离为，所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（1，）.当直线l上的C点与G重合时，ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，ACB为锐角，即ABC中，ACB不可能是钝角.因此，要使ABC为钝角三角形，只可能是CAB或CBA为钝角.过点A且与AB垂直的直线方程为.令x=1得y=.过点B且与AB垂直的直线方程为y+2（x3）.令x=1得y=.又由解得y=2，所以，当点C的坐标为（1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形.因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是y （y2）.8、已知椭圆的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且，定点A（4，0）. （I）求证：当时； （II）若当时有，求椭圆C的方程； （III）在（2）的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，试判断 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出这时M、N两点所在直线方程，若不存在，给出理由.（1）设，则，当时，由M，N两点在椭圆上，若，则舍， 。 （2）当时，不妨设又，椭圆C的方程为。 （3），设直线MN的方程为联立，得， 。记 ，则，当，即时取等号 并且，当k=0时，当k不存在时综上有最大值，最大值为此时，直线的MN方程为，或。