七、应用几何、向量知识求最值：典型例题：例1.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是【 】（A） （B） （C） （D）【答案】A。【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征，勾股定理和余弦定理的应用。【分析】如图所示，设四面体的棱长为，取中点P，连接，所以，在中，由勾股定理得=。在中，。，。故选A。例2.在平行四边形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 .【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系。平行四边形中，。设，则。由得，。的横坐标为，的纵坐标为。函数在有最大值，在时，函数单调增加。在时有最小值2；在时有最大值5。的取值范围是。例3.如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 .【答案】。【考点】四面体中线面的关系，椭圆的性质。【解析】作于，连接，则，平面。又平面，。 由题设，与都在以为焦距的椭球上，且、都垂直于焦距所在直线。=。 取中点，连接，。四面体的体积。显然，当在中点，即是短轴端点时，有最大值为。例4.已知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点。则的值为 ； 的最大值为 【答案】1；1。【考点】平面向量的运算法则。【解析】如图，根据平面向量的运算法则，得 。 ，正方形ABCD的边长为l，。 又， 而就是在上的射影，要使其最大即要点E与点B重合，此时。 的最大值为。例5.在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过所在直线为轴建立平面直角坐标系。在矩形中， ，。设，则。由得，。的坐标为。，。的取值范围是。例6.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 【答案】。【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离。【解析】圆C的方程可化为：，圆C的圆心为，半径为1。由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点；存在，使得成立，即。即为点到直线的距离，解得。的最大值是。例7.若直线与圆有公共点，则实数取值范围是【 】 【答案】。【考点】圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，解绝对值不等式。【解析】设圆的圆心到直线的距离为，则根据圆与直线的位置关系，得。由点到直线的距离公式，得，解得。故选。