山东省新人教B版2012届高三单元测试4必修2第一章立体几何初步(本卷共150分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中，正确的是()A经过不同的三点有且只有一个平面B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D垂直于同一个平面的两个平面平行解析：选C.A中，可能有无数个平面，B中，两条直线还可能平行，相交，D中，两个平面可能相交2有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为()A24 cm2,12 cm3B15 cm2,12 cm3C24 cm2,36 cm3 D以上都不正确解析：选A.由三视图知该几何体为一个圆锥，其底面半径为3 cm，母线长为5 cm，高为4 cm，求表面积时不要漏掉底面积3若正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为()A12 B21C1 D.1解析：选C.设正四棱锥底边长为a，则斜高为a，高ha高与底边长之比为aa1.4如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是()A30 B45C60 D90解析：选C.本题主要考查圆锥侧面展开图的有关性质及侧面展开图中心角公式设圆锥底面半径为r，母线长为l，依条件则有2rl，如图所示，即ASO30，圆锥顶角为60.5已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是()A2R2B.R2C.R2 D.R2解析：选B.如图所示，设圆柱底面半径为r，则其高为3R3r，全面积S2r22r(3R3r)6Rr4r24(rR)2R2，故当rR时全面积有最大值R2.6在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC面PDFBDF面PAEC面PDE面ABCD面PAE面ABC解析：选C.因为BCDF，所以BC面PDF，即A正确；由中点有BCPE，BCAE，所以BC平面PAE，所以DF平面PAE，即B正确；由BC平面PAE可得平面PAE平面ABC，即D正确7在纬度为的纬线圈上有A，B两点，这两点间的纬线圈上的弧长为Rcos，其中R为地球半径，则这两点间的球面距离是()A.R B.RC(2)R D()R解析：选C.由题意易求得球心角为2，所以球面距离为(2)R.8正方体的外接球与内切球的球面面积分别为S1和S2则()AS12S2 BS13S2CS14S2 DS12S2解析：选B.不妨设正方体的棱长为1，则外接球直径为正方体的体对角线长为，而内切球直径为1，所以()23，所以S13S2.9棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则()AS1S2S3 BS3S2S1CS2S1S3 DS1S3S2解析：选A.设底面积为S，由截面性质可知()2S1S；S2S；( )3S3S.可知S1S2S3，故选A.10平行六面体ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，且A1ABA1ADBAD60，则对角面B1BDD1是()A平行四边形 B菱形C矩形 D正方形解析：选D.AA1在面ABCD内的射影在底面的一条对角线上，ACBD，AA1BD，BB1BD.又BAD60，BDABBB1，B1BDD1是正方形11一个正四棱台(上、下底面是正方形，各侧面均为全等的等腰梯形)的上、下底面的边长分别为a，b，高为h，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是()A. B.C. D.解析：选A.S侧4 a2b2，即4h2()2(ab)2(a2b2)2，化简得h(ab)ab，.12. 如图所示，三棱锥PABC的高PO8，ACBC3，ACB30，M、N分别在BC和PO上，且CMx，PN2x(x0,3)，下列四个图象大致描绘了三棱锥NAMC的体积V与x的变化关系，其中正确的是()解析：选A.VSAMCNO(3xsin30)(82x)(x2)22，x0,3，故选A.二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为_解析：球的直径等于正六棱柱的体对角线的长设球的半径为R，由已知可得2R 2，R.所以球的体积为R3()34.答案：414一根细金属丝下端挂着一个半径为1 cm的金属球，将它浸没在底面半径为2 cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的水面下降的高度是_cm.解析：由题意知，金属球的体积等于下降的水的体积，设水面下降h cm，则有22h，解得h.答案：15如果规定：xy，yz，则xz叫做x、y、z关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a、b、c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系具有传递性的是_答案：平行16点M是线段AB的中点，若点A、B到平面的距离分别为4 cm和6 cm，则点M到平面的距离为_解析：(1)如图(1)，当点A、B在平面的同侧时，分别过点A、B、M作平面的垂线AA、BB、MH，垂足分别为A、B、H，则线段AA、BB、MH的长分别为点A、B、M到平面的距离由题设知AA4 cm，BB6 cm.因此MH5(cm)(2)如图(2)，当点A、B在平面的异侧时，设AB交平面于点O，AABB46，AOOB46.又M为AB的中点，MHAA14，即MH1(cm)故点M到平面的距离为5 cm或1 cm.答案：5 cm或1 cm三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，E，F四点共面；(2)若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线证明：如图所示(1)连接B1D1.E，F分别为D1C1，C1B1的中点，EFB1D1，又B1D1BD，EFBD，EF与BD共面，E，F，B，D四点共面(2)ACBDP，P平面AA1C1C平面BDEF.同理，Q平面AA1C1C平面BDEF.A1C平面DBFER，R平面AA1C1C平面BDEF，P，Q，R三点共线18一球内切于圆锥，已知球和圆锥的底面半径分别为r，R，求圆锥的体积解：如图，设圆锥的高ADh，由AOEACD，可得，即，解得h，所以圆锥的体积为VR2h.19在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，设AA12，求三棱锥FA1ED1的体积解：如图，连接AE，容易证明AED1F.又A1D1AE，AE平面A1FD1.A1D1AD，A1D1平面ABCD，设平面A1FD1平面ABCDFG，则A1D1FG且G为AB的中点，AE平面A1GFD1，AEA1G，设垂足为点H，则EH即为点E到平面A1FD1的距离，A1A2，AE，AH，EH.又SA1FD1SA1GFD1，VFA1ED11，故三棱锥FA1ED1的体积为1.20. 如图ABC中，ACBCAB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点 (1)求证：GF平面ABC；(2)求证：平面EBC平面ACD；(3)求几何体ADEBC的体积V.解：(1)证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH.G，F分别是EC和BD的中点，HGBC，HFDE.又四边形ADEB为正方形，DEAB，从而HFAB.HF平面ABC，HG平面ABC.平面HGF平面ABC.GF平面ABC.(2)证明：ADEB为正方形，EBAB.又平面ABED平面ABC，BE平面ABC.BEAC.又CA2CB2AB2，ACBC.AC平面BCE.从而平面EBC平面ACD.(3)取AB的中点N，连接CN，ACBC，CNAB，且CNABa.又平面ABED平面ABC，CN平面ABED.CABED是四棱锥，VCABEDSABEDCNa2aa3.21如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A1B1B1C11，A1B1C190，AA14，BB12，CC13.设点O是AB的中点，求证：OC平面A1B1C1.证明：作ODAA1交A1B1于点D，连接C1D，则ODBB1CC1.因为O是AB的中点，所以OD(AA1BB1)3CC1，则四边形ODC1C是平行四边形，因此有OCC1D.因为C1D平面C1B1A1且OC平面C1B1A1，所以OC平面A1B1C1.22如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；(3)在所给直观图中连接BC，求证：BC面EFG.解：(1)如图所示 (2)所求多面体体积VV长方体V正三棱锥446(22)2(cm3)(3)证明：如图，在长方体ABCDABCD中，连接AD，则ADBC.因为E，G分别为AA，AD的中点，所以ADEG，从而EGBC.又BC平面EFG，所以BC面EFG.