如图:若想在两条公路围成的A区域内建一个化工厂，为了减少环境污染,要求化工厂到桥头的距离是500米，同时为了交通方便,要求化工厂到两条公路的距离相等，假如你是工程师，你能在图上找到化工厂的位置吗?,桥头,焦寺,旁堤刘,（比例尺为：）,A区域,24.8角平分线的性质定理及其逆定理,定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等,条件：一个点在一个角的平分线上,结论：这个点到角的两边的距离相等,已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.,1,2,3,4,一.角平分线的性质,定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,1= 2 PD OA ，PE OB PD=PE.,交换定理的条件和结论得到的命题为：,合作探究,逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,它是真命题吗?,如果是.请你证明它.,已知:如图, AOB, PDOA, PEOB,且PD=PE,垂足分别是D,E. 求证:点P在AOB的平分线上.,分析:要证明点P在AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明AOC=BOC.,O,C,B,A,P,D,E,逆定理: 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,用符号语言表示为: PDOA,PEOB,垂足 分别是D,E,且PD=PE 点P在AOB的平分线上,温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,O,C,B,A,P,D,E,二.角平分线性质定理的逆定理,1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,3.性质定理和逆定理的关系 点在角平分线上 点到角两边的距离相等,总结归纳,基本应用,填空： (1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (1). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _),12,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,例1.已知:如图,C=900,B=300, AD是RtABC的角平分线. 求证:BD2CD.,例:已知：如图，C= C=90 ，AC=AC . 求证（1） ABC= ABC ；（2）BC=BC .（要求不用三角形全等的判定）,B,三.尺规作图 角平分线的作法,已知:AOB,如图. 求作:射线OC,使AOC=BOC 作法:,用尺规作角的平分线.,1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.,2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为 半径作弧,两弧在AOB内交于点C,3.作射线OC.,请你说明OC为什么 是AOB的平分线, 并与同桌进行交流.,则射线OC就是AOB的平分线.,:如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P。,小区C,P,实际应用,2：若已知超市P到道路OA 的距离为600米， 求P到道路OB的距离。,驶向胜利的彼岸,三角形内角的角平分线,剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.,结论:三角形三个角的平分线相交于一点.,老师期望: 你能写出规范的证明过程.,你能证明这个命题吗?,观察这三条角平分线,你发现了什么?,回味无穷,一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理,思考题：2、若要在MON内部全部覆盖绿化，已知MON的周长为2000米，OMN、MON的平分线交于点O，ODMN，垂足为D，且OD=2米 求： MON的面积,3.已知:如图,P是AOB平分线上的一点， PCOA,PDOB,垂足分别C,D. 求证:(1)OC=OD; (2)OP是CD的垂直平分线.,证明两角相等的方法：,同角（或等角）的余角（补角）相等 平行线的性质 对顶角相等 全等三角形的对应角相等 等边对等角 角平分线的性质定理及其逆定理,证明线段相等的方法：,全等三角形的对应边相等 角平分线的性质定理 等角对等边 等腰三角形的三线合一 .垂直平分线的性质定理,（练习）已知：MON中，MP平分OMN，OP平分MON，且PDMN，PEON，垂足分别为点D、E 求证：点P在MNO的平分线上,挑战自我,如图,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD 是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.,(1)如果CD4cm，AC的长,(2)求证:ABACCD.,2.已知:如图,ABC的外角CBD和BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在DAE的平分线上.,