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2012高考数学信息卷二一、填空题1. 已知,且,则的值为.2. 函数的定义域为R. ,对任意的R,则的解集为.提示:设,,故在R上为增函数.又,由,即,得.3. 设点是内一点(不包括边界),且,则的取值范围是.提示: ,点在直线系上,点到直线系 上点的距离取值范围是.4. 已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的首项是1,随后两项都是2,接下来3项都是3,再接下来4项都是4,以此类推,若,则= 211 .提示:,.5. 已知点是双曲线右支上一点,、分别是双曲线的左、右焦点. 为内心,若,则双曲线的离心率为 2 .提示:, .6. 如图,在中,在斜边上,,则的值为 24 .7. 各项都为正数的数列,其前项的和为,且,若,且数列的前项的和为,则=.提示:,,,,.二、解答题1. 如图,以为始边作角,它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q,已知点P的坐标为(1)求的值; (2)若求的值.解:(1)由三角函数的定义得则原式= (2), 2.如图三棱柱中,侧棱与底面垂直,M,N分别是的中点.(1) 求证:;(2) 求证:. 证明:(1)如图,连接,显然AC1过点N.M,N分别是的中点, 又,. (2) 三棱柱中,侧棱与底面垂直,,是正方形.,又的中点,.,.3烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离成反比,现有两座烟囱相距10,甲烟囱喷出的烟尘浓度是乙烟囱的2倍,在距甲烟囱1km处的烟尘浓度为2个单位/,现要在甲、乙两烟囱之间建一所学校,问学校建在何处,烟尘对学校的影响最小?解:设学校建立在离甲烟囱处,则该处甲、乙两烟囱的烟尘浓度分别为 则在该处的烟尘浓度由已知 所以,.当且仅当即时取等号,故学校应建立在离甲烟囱处烟尘对学校的影响最小.4, (1)求以双曲线的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆E的方程.(2)点P在椭圆E上,点C(2,1)关于坐标原点的对称点为D,直线CP和DP的斜率都存在且不为0,试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值?若是,求此定值;若不是,请说明理由.(3)平行于CD的直线交椭圆E于M、N两点,求面积的最大值,并求此时直线的方程.解:(2)依题意得D点的坐标为(-2,-1),且D点在椭圆E上,直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在,设P(x,y),.(3)直线CD的斜率为,CD平行于直线,设直线的方程为由,消去,整理得,, .点C到直线MN的距离为 当且仅当5. (1) 已知两个等比数列,满足.若数列唯一,求的值;(2)是否存在两个等比数列,使得成公差不为0的等差数列?若存在,求,的通项公式;若不存在,说明理由.解:(1)设的公比为,则.由成等比数列得,即.()由得,故方程()有两个不同的实根.再由唯一,知方程必有一根为0,将代入方程得.(2) 假设存在两个等比数列,使得成公差不为0的等差数列,设的公比为,的公比为.则, , .由成等差数列得即 (*)-(*)得.由得或.当时,由(*) (*)得或,这时,与公差不为0矛盾.当时,由(*) (*)得或,这时,与公差不为0矛盾.综上所述,不存在两个等比数列,使得成公差不为0的等差数列.6.已知函数,其中.(1)判断函数的单调性;(2)若,求函数的最值;(3)设函数,当时,若对于任意的,总存在唯一的,使得成立,试求m的取值范围.解:(1)则当时,知函数在上单调递增,在及上单调递减;当时,知函数在上单调递减,在及上单调递增.(2)由,可得.由(1)知,当,函数在上是减函数,而函数在上也是减函数,故当时,函数取得最大值.当时, 函数取得最小值.(3)当时,由于,则,由(1)知,此时函数在上是减函数,从而若时,由于,则=,易知在上单调递增,从而.要使成立,只需,即成立即可,设则易知函数在上单调递增,且,故,所以.三、理科附加题1.为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目个数分别占总数的现在3名工人独立地从中任意一个项目参与建设.(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率.(2)记X为3人中选择的项目所属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求X的分布列及数学期望.解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai ,Bi ,Ci ,i=1,2,3.由题意,知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立, A i,B j,C k(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且P (A i)=,P(B j)= ,P(C k)= .(1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3! P (A 1 B2 C3)= 6P (A 1) P (B2) P (C3)=.(2) 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由已知所以 故X的分布列是X的数学期望是.2.已知函数.(1)当曲线在点处的切线与直线平行时,求a的值;(2)求函数的单调区间.解:,(1)由题意可得 解得,因为此时在点处的切线方程为,即与直线平行,故所求a的值为3.(2)令得到,由可知. 当时,.所以,故的单调递减区间为. 当时, ,所以在区间,在区间故的单调递减区间为,单调递增区间为. 当时,所以在区间上;在区间上;故的单调递增区间为,单调递减区间为.综合讨论可得:当时,函数的单调递减区间为;当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
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