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专题21 等腰三角形的存在性破解策略以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示:等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上,或以A,B为圆心、AB长为半径的圆上(不与线段AB共线)AB图1ABCD图2解等腰三角形的存在性问题时,若没有明确指出等腰三角形的底或腰,就需要进行分类讨论通常这类问题的解题策略有:(1)几何法:先分类讨论,再画出等腰三角形,后计算如图2,若ABAC,过点A作ADBC,垂足为D,则BDCD,BADCAD,从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题(2)代数法:先罗列三边长,再分类讨论列方程,然后解方程并检验有时候将几何法和代数法相结合,可以使得解题又快又好例题讲解例1 如图,正方形ABCD的边长是16,点E在AB边上,AE3,F是BC边上不与B,C重合的一个动点,把EBF沿EF折叠,点B落在B处若CDB恰为等腰三角形,则DB ABCDEFB解 16或4如图1,当CBCD时,点F与点C重合,不符合题意,舍去;如图2,当DBCD时,DB16;如图3,当DBBC时,过点B作GHAD,交AB于点G,交CD于点H显然G,H分别为AB,CD的中点由题意可得BE13,DHBG8,所以EG5,从而BG12,BH4,所以DB4图1ABCDEB(F)如图2所示:当DBCD时,则DB16(易知点F在BC上且不与点C、B重合)图2如图3所示:当BDBC时,过B点作GHAD,则BGE90图3当BCBD时,AGDHDC8由AE3,AB16,得BE13由翻折的性质,得BEBE13EGAGAE835,BG,BHGHBG16124,DB例2 如图,在ABC中,ACB90,AC4cm,BC3cm如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s连接PQ,设运动时间为t(s)(0t4),解:如图,过点P作PHAC于H,C90,ACBC,PHBC,APHABC,AC4cm,BC3cm,AB5cm,PH3t,AHQH,PQ在APQ中,当AQAP,即t5t时,解得:t1;当PQAQ,即t时,解得:t2,t35;当PQAP,即5t时,解得:t40,t5;0t4,t35,t40不合题意,舍去,当t为s或s或s时,APQ是等腰三角形例3 如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA1,OC2,点D在边OC上且OD(1)求直线AC的解析式;(2)在y轴上是否存在点P,直线PD与矩形对角线AC交于点M,使得DMC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)设直线AC的解析式ykxb,又OA1,OC2,A(0,1),C(2,0)代入函数解析式求得:k,b1直线AC的函数解析式:y(2)若DC为底边,M的横坐标为,则点M的坐标为(,)直线DM解析式为:yP(0,);若DM为底,则CDCM,AMAN,N(,1),可求得直线DM的解析式为y(2)x(),P(0,()若CM为底,则CDDM点M的坐标为(,)直线DM的解析式为yx,点P的坐标为(0,)综上所述,符合条件的点P的坐标为(0,),(0,(),(0,)例4 已知抛物线yx2mxn的对称轴为x2,且与x轴只有一个交点(1)求m,n的值;(2)把抛物线沿x轴翻折,再向右平移2个单位,向下平移1个单位,得到新的抛物线C,求新抛物线C的解析式;(3)已知P是y轴上的一个动点,定点B的坐标为(0,1),问:在抛物线C上是否存在点D,使BPD为等边三角形?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)抛物线的对称轴为x2,m4抛物线与x轴只有一个交点,m24n0 从而n4 (2)原抛物线的表达式为yx24x4(x2)2 所以抛物线C的表达式为yx21(3)假设点D存在,设点D的坐标为(d,d21) 如图,作DHy轴于点H, 则DH2 d2,BH2(d22)2 若BPD是等边三角形,则有,即d23(d22)2, 解得d或d所以满足条件的点D存在,分别为D1(,2),D2(,2),D3(,),D4(,) 例5 如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx23x8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E(3,4),连结CE,若P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q试探究:当m为何值时,OPQ是等腰三角形解 由抛物线yx23x8(x8)(x2) ,可得点A,B,C的坐标分别为(2,0),(8,0)(0,8)所以CE5OE,所以OEC是顶角为钝角的等腰三角形,即OEC90,OPQ曲等腰三角形有三种可能:当POPQ时,即OPQ为顶角,显然POQCOE,所以OPQOEC90,由题意可知这种可能性不存在;当OPOQ时,则OPQOQP 如图1,过点E作PQ的平行线,分别交x轴,y轴于点F,G, 则OGEOPQOQPOEG, 所以OGOE5,即点G的坐标为(0,5), 所以直线GE的表达式为yx5, 所以点F的坐标为(5,0) 而,所以,即;当QOQP时,则QPOQOPOCE,所以CEPQ,如图2,设直线CE与x轴交于点H由C,E两点的坐标可得直线CE的表达式为,yx8所以点H的坐标为(6,0) ,所以,即 综上可得,当m的值为或时,OPQ是等腰三角形进阶训练1如图,在RtABC中,ACB 90,AC6,BC8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动,M,N分别是AD,CD的中点,连结MN,设点D运动的时间为t,若DMN是等腰三角形,求t的值【答案】t5,6或时,DMN是等腰三角形2设二次函数yx22ax(a0)的图象顶点为A,与x轴的交点为B,C(1)当ABC为等边三角形时,求a的值,(2)当ABC为等腰直角三角形时,求a的值【答案】(1)a;(2)a3如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2),E为线段AB上的一个动点(不与点A,B重合),以E为顶点作OFT45,射线ET交线段OB于点F,C为y轴正半轴上一点,且OCAB抛物线yx2mxn经过A,C两点(1)求此抛物线的函数表达式;(2)求证:BEFAOE;(3)当EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标【答案】(1)yx2x;(2)略;(3)点E的坐标为(1,1),(,2)【提示】(2)由BAOFEOABO45即可证;(3)分类讨论:当OEOF时, 点E与点A重合,不符合题意;点EOEF时(如图1),易证AFOBFE,从而BEAC2,再过点E作EH y轴,即可求得点E(,2);当FEFD时(如图2),此时BFE和OFE均为等腰直角三角形,求得点E(1,1)4如图,抛物线yax26xc与x轴交于点A(5,0),B(1,0),与y轴交于点C,P是抛物线上的一个动点,连结PA,过点P作y轴的平行线交直线AC于点D,请问:APD能否为等腰三角形?若能,求出此时点P的坐标;若不能,请说明理由【答案】APD能为等腰三角形,点P的坐标为(2,3),(1,0),(,67),或(,67)【提示】由点A,B的坐标可得抛物线的表达式为yax26x5从而得到C(0,5)所以直线AC:yx5可设点P(m,m26m5),则D(m,m5) APD为等腰三角形有三种情况,由ADP45或135用代几结合解决问题 当APAD时,FAD90,得P(一2,3); 当APPD时,APD90,得P(1,0); 当ADPD时,可列方程,从而m,得P(,67),或(,67) 5如图,抛物线yax22x3与x轴交于A,B两点,且点B的坐标为(1,0)直线yx分别与x轴,y轴交于C,F两点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点,过点Q作y轴的平行线,交直线CF干点D点E在线段CD的延长线上,连结QE,问:以QD为腰的等腰QDE的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由【答案】存在,以QD为腰的等腰QDE的面积最大值为【提示】有题意可得抛物线的解析式为yx22x3,点C(,0),F(0,),从而tanEDQtanOFC,如图,作QGCE于点G,设DQt,则QGt,DGt,若DQDE,则DE2DG,从而QDE的面积为SDEQGt2显然t2t2所以当DQEQ时,S取最大值设点Q(x,x22x3),则tQDx2x,可得t3时,Smax
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