第二节 偏导数与全微分,一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 三、全微分的定义 四、可微的条件 五、小结,一、偏导数的实际背景,科布道格拉斯生产函数：,考虑资金投入K固定不变，产出Y对劳动力投入L的变化率问题；或劳动力投入L固定不变，产出Y对资金投入K 的变化率问题，就是我们将要研究的偏导数问题。,二、偏导数的定义及其计算法,导函数的极限表达式？,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,解,证,原结论成立,将 y 看成常数,将 x 看成常数,解,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,偏导数存在与连续的关系,但函数在该点处并不连续.,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,.,.,偏导数的几何意义,几何意义:,二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.,偏导数的几何意义说明了一个问题:,三、全微分的概念,研究所有自变量同时发生变化时，函数值如何变化？以矩形的面积函数为例：,线性主部,即用线性主部近似表示函数值的改变量。这就是全微分的思想。,全微分的定义,三、可微的条件,定理8.1,证,总成立,同理可得,所以，全微分可写为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,例如，,证明：,定理8.2,定理8.3,注： 充分非必要条件。,可微的充分条件,解,所求全微分,解,解,所求全微分,证,同理,不存在.,全微分在近似计算中的应用,也可写成,解,由公式得,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,全微分的概念,四、小结,多元函数连续、可导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,思考题,思考题解答,不能.,例如,思考题,