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学业分层测评(十八) 平面向量基本定理(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1.(2016衡水高一检测)设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是()A.e1e2和e1e2B.3e14e2和6e18e2C.e12e2和2e1e2D.e1和e1e2【解析】B中,6e18e22(3e14e2),(6e18e2)(3e14e2),3e14e2和6e18e2不能作为基底.【答案】B2.(2016合肥高一检测)如图229,向量ab等于()图229A.4e12e2B.2e14e2C.e13e2D.3e1e2【解析】不妨令a,b,则ab,由平行四边形法则可知e13e2.【答案】C3.(2016大连高一检测)如图2210,已知E,F 分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF 与AC交于点G,若a,b,用a、b表示()图2210A.ab B.abC.ab D.ab【解析】易知,.设,则由平行四边形法则可得()22,由于E,G,F 三点共线,则221,即,从而,从而(ab).【答案】D4.若D点在三角形ABC的边BC上,且4rs,则3rs的值为()A. B. C. D.【解析】4rs,()rs,r,s,3rs.【答案】C5.如果e1,e2是平面内所有向量的一组基底,那么下列命题正确的是()A.若实数1,2,使1e12e20,则120B.空间任一向量a可以表示为a1e12e2,其中1,2RC.对实数1,2,1e12e2不一定在平面内D.对平面中的任一向量a,使a1e12e2的实数1,2有无数对【解析】选项B错误,这样的a只能与e1,e2在同一平面内,不能是空间任一向量;选项C错误,在平面内任一向量都可表示为1e12e2的形式,故1e12e2一定在平面内;选项D错误,这样的1,2是唯一的,而不是有无数对.【答案】A二、填空题6.已知a与b是两个不共线的向量,且向量ab与(b3a)共线,则_.【解析】由题意可以设ab1(b3a)31a1b,因为a与b不共线,所以有解得【答案】7.设e1,e2是平面内一组基向量,且ae12e2,be1e2,则向量e1e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1e2_.【解析】因为ae12e2 ,be1e2 ,显然a与b不共线,得ab3e2,所以e2代入得e1e2bbab,故有e1e2ababab.【答案】ab三、解答题8.如图2211,平面内有三个向量,其中与的夹角为120,与的夹角为30,且|1,|2,若(,R),求的值.图2211【导学号:72010056】【解】如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则,在RtOCD中,因为|2,COD30,OCD90,所以|4,|2,故4,2,即4,2,所以6.9.(2016马鞍山二中期末)如图2212所示,在ABCD中,E,F 分别是BC,DC的中点,BF 与DE交于点G,设a,b.图2212(1)用a,b表示;(2)试用向量方法证明:A,G,C三点共线.【解】(1)abbab.(2)证明:连接AC,BD交于O,则,E,F 分别是BC,DC的中点,G是CBD的重心,又C为公共点,A,G,C三点共线.能力提升1.已知点O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足(0,),则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】为上的单位向量,为上的单位向量,则的方向为BAC的角平分线的方向.又0,),的方向与的方向相同.而,点P在上移动,点P的轨迹一定通过ABC的内心.【答案】B2.如图2213所示,OMAB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且xy.图2213(1)求x的取值范围;(2)当x时,求y的取值范围.【解】(1)因为xy,以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形,由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线,当OP长度增大且靠近OM时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(,0).(2)如图所示,当x时,在OA的反向延长线取点C,使OCOA,过C作CEOB,分别交OM和AB的延长线于点D,E,则CDOB,CEOB,要使P点落在指定区域内,则P点应落在DE上,当点P在点D处时,当点P在点E处时,所以y的取值范围是.
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