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2013届泉州中考数学压轴题专项突破能力训练一、解答题1如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点,作直线PCPO,交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N。(1)当点C在第一象限时,求证:OPMPCN;(2)当点C在第一象限时,设AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;ABCNPMOxyx=1第1题图(3)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=1上移动,PBC是否可能成为等腰三角形?如果可能,求出所有能使PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标;如果不可能,请说明理由。答案:(1)OMBN,MNOB,AOB=900,四边形OBNM为矩形。MN=OB=1,PMO=CNP=900,AO=BO=1,AM=PM。OM=OA-AM=1-AM,PN=MN-PM=1-PM,OM=PN,OPC=900,OPM+CPN=900,又OPM+POM=900CPN=POM,OPMPCN.(2)AM=PM=APsin450=,NC=PM=,BN=OM=PN=1-;BC=BN-NC=1-=(3)PBC可能为等腰三角形。当P与A重合时,PC=BC=1,此时P(0,1)当点C在第四象限,且PB=CB时,有BN=PN=1-,BC=PB=PN=-m,NC=BN+BC=1-+-m,由知:NC=PM=,1-+-m=,m=1.PM=,BN=1-=1-,P(,1-).使PBC为等腰三角形的的点P的坐标为(0,1)或(,1-)2.关于x的二次函数y-x2(k2-4)x2k-2以y轴为对称轴,且与y轴的交点在x轴上方(1)求此抛物线的解析式,并在直角坐标系中画出函数的草图; (2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点,过点A作AB垂直x轴于点B,再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D,过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD设矩形ABCD的周长为l,点A的横坐标为x,试求l关于x的函数关系式; (3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时,矩形ABCD能否成为正方形若能,请求出此时正方形的周长;若不能,请说明理由答案:(1)根据题意得:k2-40,k2 .第2题图A1A2B1B2C1D1C2D2xy当k2时,2k-220,当k2时,2k-2-60.又抛物线与y轴的交点在x轴上方,k2 .抛物线的解析式为:y-x22.函数的草图如图所示:(2)令-x220,得x.当0x时,A1D12x,A1B1-x22l2(A1B1A1D1)-2x24x4.当x时,A2D22x,A2B2-(-x22)x2-2, l2(A2B2A2D2)2x24x-4.l关于x的函数关系式是: (3)解法:当0x时,令A1B1A1D1,得x22x20.解得x=-1-(舍),或x=-1.将x=-1代入l=-2x24x4,得l=8-8,当x时,A2B2=A2D2得x2-2x-2=0,解得x=1-(舍),或x=1,将x=1代入l=2x24x-4,得l=88.综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1时,正方形的周长为8-8;当x=1时,正方形的周长为88 解法:当0x时,同“解法”可得x=-1,正方形的周长l=4A1D1=8x=8-8 .当x时,同“解法”可得x=1,正方形的周长l=4A2D2=8x=88 .综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1时,正方形的周长为88;当x=1时,正方形的周长为88解法:点A在y轴右侧的抛物线上,当x0时,且点A的坐标为(x,-x22).令ABAD,则=2x,-x22=2x, 或-x22=-2x, 由解得x=-1-(舍),或x=-1,由解得x=1-(舍),或x=1.又l=8x,当x=-1时,l=8-8;当x=1时,l=88.综上所述,矩形ABCD能成为正方形,且当x=-1时,正方形的周长为8-8;当x=1时,正方形的周长为88第3题图3.如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式. (2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.移动开始后第t秒时, 设PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.答:(1)设抛物线的解析式为,由题意知点A(0,-12),所以,又18a+c=0,,ABCD,且AB=6,抛物线的对称轴是.所以抛物线的解析式为.(2),.当时,S取最大值为9。这时点P的坐标(3,-12),点Q坐标(6,-6).若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,有如下三种情况:()当点R在BQ的左边,且在PB下方时,点R的坐标(3,-18),将(3,-18)代入抛物线的解析式中,满足解析式,所以存在,点R的坐标就是(3,18);()当点R在BQ的左边,且在PB上方时,点R的坐标(3,-6),将(3,-6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件.()当点R在BQ的右边,且在PB上方时,点R的坐标(9,-6),将(9,-6)代入抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点R不满足条件.综上所述,点R坐标为(3,-18).4已知二次函数y=x2bxc与x轴交于A(1,0)、B(1,0)两点.(1)求这个二次函数的关系式;(2)若有一半径为r的P,且圆心P在抛物线上运动,当P与两坐标轴都相切时,求半径r的值.(3)半径为1的P在抛物线上,当点P的纵坐标在什么范围内取值时,P与y轴相离、相交? 答案:解:(1)由题意,得 解得 二次函数的关系式是y=x21 (2)设点P坐标为(x,y),则当P与两坐标轴都相切时,有y=x 由y=x,得x21=x,即x2x1=0,解得x= 由y=x,得x21=x,即x2x1=0,解得x= P的半径为r=|x|= (3)设点P坐标为(x,y),P的半径为1,当y0时,x21=0,即x1,即P与y轴相切, 又当x0时,y1,当y0时, P与y相离; 当1y0时, P与y相交. 第5题图5如图示已知点M的坐标为(4,0),以M为圆心,以2为半径的圆交x轴于A、B,抛物线过A、B两点且与y轴交于点C(1)求点C的坐标并画出抛物线的大致图象(2)已知点Q(8,m),P为抛物线对称轴上一动点,求出P点坐标使得PQ+PB值最小,并求出最小值(3)过C点作M的切线CE,求直线OE的解析式答案:(1)将A(2,0)B(6,0)代入中 将x=0代入,y=2C(0,2)(2)将x=8代入式中,y=2 Q(8,2)过Q作QKx轴过对称轴直线x=4作B的对称点APB+PQ=QA在RtAQK中,AQ=即,PB+PQ=PMKQ即APMAQKPA=P(4,)6.如图,在中,, 的面积为,点为边上的任意一点(不与、重合),过点作,交于点设以为折线将翻折,所得的与梯形重叠部分的面积记为y.(1)用x表示ADE的面积;(2)求出时y与x的函数关系式;(3)求出时y与x的函数关系式;(4)当取何值时,的值最大?最大值是多少?答案:解:(1) DEBC ADE=B,AED=C ADEABC 即 (2)BC=10 BC边所对的三角形的中位线长为5当0 时 (3)10时,点A落在三角形的外部,其重叠部分为梯形SADE=SADE= DE边上的高AH=AH=由已知求得AF=5AF=AA-AF=x-5由AMNADE知(4)在函数中0x5当x=5时y最大为: 在函数中当时y最大为: 当时,y最大为: 7.如图,直线和x轴y轴分别交与点B、A,点C是OA的中点,过点C向左方作射线CMy轴,点D是线段OB上一动点,不和B重合,DPCM于点P,DEAB于点E,连接PE。(1) 求A、B、C三点的坐标。(2) 设点D的横坐标为x,BED的面积为S,求S关于x的函数关系式。(3) 是否存在点D,使DPE为等腰三角形?若存在,请直接写出所有满足要求的x的值。 答案:解:(1)将x=0代入y=x+3,得y=3,故点A的坐标为(0,3),因C为OA的中点,故点C的坐标为(0,1.5)将y=0代入y=x+3,得x=4,故点B的坐标为(4,0)所以A、B、C三点坐标为(0,3),(4,0),(0,1.5)(2)由(1)得OB=4,OA=3则由勾股定理得AB=5因P点的横坐标为x,故OD=x,则BD=4+x 又由已知得DEB=AOD=900 ,sinDBE=sinABO=,DE=(4+x),cosDBE=cosABO=,BE,S=(4+x)=(4+x)2 (4x0)(3)符合要求的点有三个,x=0,1.5,当PE=PD时,过P作PQDE于QcosPDQ=cosABO=,DE=2DQ=PD2=2.4,即2.4=当ED=EP时,过E作EHPD于HcosEDH=cosABO=,PD=2DH=2ED=1.
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