第5章 第2节 知能训练提升考点一：向量的数量积运算1(2010崇文检测)设a、b、c是三个向量，以下命题中真命题的序号是_若abac，且a0，则bc；若ab0，则a0或b0；若a、b、c互不共线，则(ab)ca(bc)；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.答案：2若向量a、b、c满足abc0，且|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca_.解析：解法一：由已知得|c|a|b|，cab，故向量a与b同向，而向量c与它们的和反向所以有abbcca3cos04cos18012cos180341213.解法二：(abc)2a2b2c22(abbcca)，abbcca13.答案：13考点二：向量的模3(2010台州模拟)已知向量a、b的夹角为120，|a|1，|b|5，则|3ab|等于()A7B6C5 D4解析：|3ab|2(3ab)29a2b26ab925615cos12049，|3ab|7.答案：A4(2010大连模拟)已知ayx，b2xy，|a|b|1，ab0，则|x|y|等于()A7 B2C5 D.解析：ab(yx)(2xy)|y|22|x|23xy0，又|a|2(yx)2|y|2|x|22xy1，|b|2(2xy)24|x|24xy|y|21，可得|x|，|y|，|x|y|.答案：D考点三：向量的夹角5已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(ab)c，则a与c的夹角()A30 B60C120 D150答案：C6已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)a，b，作三角形ABC，求ABC的面积解：(1)由(2a3b)(2ab)61，得4|a|24ab3|b|261，|a|4，|b|3，代入求得ab6，cos，又0，180，120.(2)可先平方转化为向量的数量积.|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(3)计算a、b夹角的正弦，再用面积公式求值由(1)知BAC120，|a|4，|b|3，SABC|sinBAC34sin1203.考点四：向量的垂直7已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，且a、b满足关系|kab|akb|(其中k0)(1)求证：(ab)(ab)；(2)求将a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)；(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时a与b的夹角.解：(1)解法一：由a(cos，sin)，b(cos，sin)，则ab(coscos，sinsin)，ab(coscos，sinsin)，又(ab)(ab)(coscos)(coscos)(sinsin)(sinsin)cos2cos2sin2sin2110，(ab)(ab)解法二：由a(cos，sin)，b(cos，sin)，则(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2110，(ab)(ab)(2)abcoscossinsincos()解法一：kab(kcoscos，ksinsin)，akb(coskcos，sinksin)，|kab|2(kcoscos)2(ksinsin)21k22k(coscossinsin)1k22kcos()，|akb|2(coskcos)2(sinksin)21k22k(coscossinsin)1k22kcos()，由|kab|akb|，得1k22kcos()31k22kcos()，8kcos()2(k21)，又k0，cos()，即ab(k0)f(k)(k0)解法二：|a|1，|b|1.由|kab|23|akb|2，得k2|a|22kab|b|23|a|26kab3k2|b|2，8kab2(k21)，即ab(k0)，故f(k)(k0)(3)k0，ab.当k1时，等号成立，所以ab的最小值为.此时ab|a|b|cos，cos.又0，.8已知a(cos，sin)，b(cos，sin)(0)(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求.(其中k为非零实数)(1)证明：(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与ab互相垂直(2)解：kab(kcoscos，ksinsin)，akb(coskcos，sinksin)，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.而0，.1.(2009全国卷)设a、b、c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为()A2 B.2C1 D1解析：ab0，(ac)(bc)abacbcc21c(ab)，求原式的最小值，即求c(ab)的最大值，而当c与ab共线且同向时，c(ab)有最大值.(ac)(bc)的最小值为1.答案：D2(2009全国卷)已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|()A. B.C5 D25解析：设b(x，y)，由得解方程组得或则|b|5.故选C.答案：C3(2009陕西)在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则()等于()A BC. D.解析：由题知P为ABC重心，则.则()2|2，故选A.答案：A4(2009重庆)已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角是()A. B.C. D.解析：a(ba)2，aba22.16cosa，b12，cosa，b.又0a，b，a，b.答案：C1.已知向量a(sinx,1)，b(t，x)，若函数f(x)ab在区间(0，)上是增函数，则实数t的取值范围是_解析：f(x)abtsinxx，f(x)tcosx1，x(0，)f(x)在(0，)上为增函数，t，其中x(0，)t1，)答案：1，)2已知平面上的向量、满足|2|24，|2，设向量2，则|的最小值是_解析：|2|2|24，.|2(2)24|2424|2|243|24.|的最小值为2.答案：2