第3章 第1节 知能训练提升考点一：由数列的前几项写出数列的通项公式1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)，(2)5,55,555,5 555,55 555，(3)5,0，5,0,5,0，5,0，解：(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an.(2)联想10n1，则an(10n1)，即an(10n1)(3)数列的各项都具有周期性，联想基本数列1,0，1,0，则an5sin.考点二：利用Sn与an的关系求通项公式2已知数列an的前n项和Snn(n40)，则下列判断正确的是()Aa190，a210Ba200，a210Ca200，a210 Da190，a200解析：当n2时，anSnSn1n240n(n1)240(n1)2n41，所以当2n410时，n，当2n410时n，又因为2n41随n的增大而增大，所以a1a2a200，且0a21a22.故选C.答案：C3已知数列an的前n项和为Sn，满足log2(1Sn)n1，求数列的通项公式解：Sn满足log2(1Sn)n1，1Sn2n1，Sn2n11.a13，anSnSn1(2n11)(2n1)2n(n2)，an的通项公式为an4已知数列an的各项均为正数，且Sn(an)，求an.解：由n1时，a1S1(a1)，a1.a10，a11.当n2时，anSnSn1，Sn(SnSn1)，整理得，SS1.S是以S1为首项，公差为1的等差数列S1(n1)1n.an0，Sn，又S11，当nN*时，Sn；当n2时，anSnSn1.1，nN*时，an.考点三：由数列的递推关系式求数列的项或通项公式5在数列an中，a11，对任意nN*，有an1，则a10等于()A10 B.C5 D.解析：由an1，得1.即1.是公差为1的等差数列，且首项为1，1(n1)1n.an，a10.答案：B6(2010银川调研)已知数列an中，a1，an1an，则an_.解析：an1an()，由叠加法ana1(1)an.答案：7(2010沈阳质检)数列an满足an1a1，则数列的第2008项为_解析：a1，a22a11.a32a2.a42a3.a52a41，a62a51，该数列周期为T4.a2008a4.答案：8分别求满足下列条件的通项公式(1)设an是首项为1的正项数列，且(n1)anaan1an0(n1,2,3，)；(2)已知数列an满足an1，a12.分析：依据已知数列的递推关系适当地进行变形，可寻找数列的通项差anan1或通项的商的规律解：(1)数列an是首项为1的正项数列，anan10，10，令t，(n1)t2tn0，分解因式得(n1)tn(t1)0，t，t1(舍去)，即，到此可采用：解法一：累乘法，an.解法二：特殊数列法，1，数列(n1)an1是一个以a1为首项，1为公比的等比数列，nana1qn1111，an.(2)已知递推式化为，将以上(n1)个式子相加得，1，an.1.(2008江西)在数列an中，a12，an1anln，则an()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n解析：解法一：由已知，an1anln，a12，anan1ln，an1an2ln，a2a1ln，将以上n1个式子累加得：ana1lnlnlnlnln n.an2ln n故选A.解法二：由a2a1ln22ln2，排除C、D；由a3a2ln2ln3，排除B.故选A.答案：A2(2009北京)已知数列an满足：a4n31，a4n10，a2nan，nN*，则a2 009_；a2 014_.解析：a2 009a503431，a2 014a21 007a1 007a425210.答案：1；03(2009重庆)设a12，an1，bn|，nN*，则数列bn的通项bn_.解析：bn1|2bn，bn12bn，又b14，bn42n12n1.答案：2n14(2009全国)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)由已知有a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13.又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列(2)由(1)知等比数列bn中b13，公比q2，所以an12an32n1，于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n，所以an(3n1)2n2.1.令an为(1x)n1的展开式中含xn1项的系数，则数列的前n项和为()A. B.C. D.解析：anCC，2()，则数列的前n项和为2(1)，故选D.答案：D2已知数列an、bn满足：a1，anbn1，bn1.(1)求b1，b2，b3，b4；(2)求数列bn的通项公式；(3)设Sna1a2a2a3a3a4anan1，求实数a为何值时4aSnbn恒成立解：(1)bn1，a1，b1，b2，b3，b4.(2)bn111，1，数列是以4为首项，1为公差的等差数列4(n1)n3，bn1.(3)an1bn，Sna1a2a2a3anan1.4aSnbn.由条件可知(a1)n2(3a6)n80恒成立即可满足条件设f(n)(a1)n23(a2)n8.a1时，f(n)3n80恒成立，a1时，由二次函数的性质知不可能成立a1时，对称轴(1)0，f(n)在(，1为单调递减函数f(1)(a1)12(3a6)18(a1)(3a6)84a150，a，a1时4aSnb恒成立综上知：a1时，4aSnb恒成立