第7章 第1节 知能训练提升考点一：求直线的倾斜角和斜率1下列命题：直线倾斜角为，则此直线的斜率为tan；直线的斜率为k，则此直线的倾斜角为arctank；任一直线都有倾斜角，但不一定都有斜率；直线的斜率为tan，则直线的倾斜角为，其中正确的是()AB和C D和答案：C2若，则直线2xcos3y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：本题是基本题，关键概念是直线的倾斜角的范围，斜率的求法，因此倾斜角的正切值tancos，由已知得tan0，所以.答案：B3(2010湖北联考)若直线的倾斜角的余弦值为，则与此直线垂直的直线的斜率为()A B.C D.解析：设直线的倾斜角为，由题意知cos ，(0，)，sin ，ktan ，与此直线垂直的直线的斜率为.答案：A考点二：求直线的方程4已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程为()A4x2y5 B4x2y5Cx2y5 Dx2y5答案：B5若点A(2，3)是直线a1xb1y10和a2xb2y10的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是()A2x3y10 B3x2y10C2x3y10 D3x2y10答案：A6求过点P(2，1)在x轴和y轴的截距分别为a、b且满足a3b的直线方程解：当a3、b0时，设所求直线的方程为1，即1.又因为直线过点P(2，1)，所以1，解得b.所求直线方程为1，即x3y10.当a3、b0时，则所求直线过原点，可设方程为ykx.因为该直线过(2，1)，所以12k，k，所求直线的方程为yx.综上所述，所求直线的方程为x3y10或yx.考点三：直线方程的应用7有定点P(6,4)及定直线l：y4x，点Q是直线l上且在第一象限内的点，直线PQ交x轴的正半轴于点M，则点Q在什么位置时OMQ的面积最小解：如图所示，设点Q(x0,4x0)(x01)当x06时，可得直线PQ的方程为y4(x6)令y0，得xM，点M的坐标为(，0)SOMQ|OM|4x040.此时x02，点Q的坐标为(2,8)，当x06时，点Q的坐标为(6,24)，此时SOMQ6247240.故当点Q的坐标为(2,8)时，OMQ的面积最小，且最小值为40.说明：本题中PQ的直线方程是用点斜式表示的，要注意以下三个问题：(1)讨论斜率不存在的情况，即x06时的情况；(2)Q点坐标的设法；(3)对于SOMQ，也可用判别式法求最值，步骤如下：去分母并按x0整理得10xSOMQx0SOMQ0.(*)x0为实数，故有S410SOMQ0，从而SOMQ40，即(SOMQ)min40，此时由(*)式得10x40x0400，x02，即Q(2,8)8直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点(1)当|PA|PB|最小时，求l的方程；(2)当|OA|OB|最小时，求l的方程解：依题意，l的斜率存在，且斜率为负设l：y4k(x1)(k0)令y0，可得A(1，0)；令x0，可得B(0,4k)(1)|PA|PB|(1k2)8.(注意k0)当且仅当k且k0，即k1时，|PA|PB|取最小值这时l的方程为xy50.(2)|OA|OB|(4k)59.当且仅当k且k0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时l的方程为2xy60.1.(2008四川)将直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为()Ayx Byx1Cy3x3 Dyx1解析：将直线y3x绕原点逆时针旋转90，得到直线yx，再右移1个单位，得到直线yx.答案：A2(2008安徽)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A(，) B，C(，) D，解析：设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0，直线l与曲线(x2)2y21即圆有公共点，圆心A(2,0)到直线l的距离d|1，得4k2k21，k2，k.答案：D3(2009安徽)直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解析：由直线l与直线2x3y40垂直，可知直线l的斜率是，由点斜式可得直线l的方程为y2(x1)，即3x2y10.答案：A4(2009全国)若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是_(写出所有正确的答案的序号)解析：记直线m的倾斜角是.注意到直线l1、l2间的距离等于.又直线m被直线l1、l2所截得的线段的长是2，因此直线m与直线l1的夹角的正弦值等于，直线m与直线l1的夹角是30，即有，|tan(45)|，因此15或75，其中正确答案的序号是.答案：1.已知M(x，y)是圆x2y21上任意一点，则的取值范围是()A，B，C(，)D(，)解析：数形结合，表示圆上点(x，y)与点(2,0)所在直线的斜率由图知，当直线与圆相切时，其斜率取得最值设过点(2,0)与单位圆相切的直线方程yk(x2)与x2y21联立方程组，解得k，所以k，答案：A2设直线2xmy1的倾斜角为，若m(，2)2，)，则角的取值范围是_解析：据题意知tan，m2或m2，tan或tan1.(0，)答案：(0，)