第5章 第1节 知能训练提升考点一：向量的有关概念1给出下列命题：|a|b|，则ab；若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab充要条件是|a|b|且ab；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是_解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且.又A、B、C、D，若四边形ABCD为平行四边形，则ABDC且ABDC，因此.正确ab，a、b长度相等且方向相同；又bc，b、c的长度相等且方向相同，a、c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab.故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑b0这种情况综上所述，正确命题的序号是.答案：2判断下列命题是否正确，不正确的说明理由(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab.(2)若|a|b|，则向量a与b的长度相等且方向相同或相反(3)若向量a、b满足|a|b|，且a与b的方向相同，则ab.(4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反(6)向量与向量是共线向量，则A、B、C、D四点在一条直线上(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量解：(1)不正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确(2)不正确则|a|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向(3)正确|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件可得ab.(4)不正确由零向量性质可得0与任一向量平行(5)不正确因为向量a与向量b中若有一个零向量，则其方向不正确(6)不正确若向量与向量是共线向量，则向量与所在的直线平行或重合，因此，A、B、C、D不一定共线(7)正确对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的考点二：向量的加、减及数乘的应用3(2010合肥调研)已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足0，若实数满足：，则值为()A2B.C3 D6答案：C4O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足()，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心解析：解法一：设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为BAC的角平分线的方向又0，)，()的方向与的方向相同而()，点P在上移动P的轨迹一定通过ABC的内心解法二：由于P点轨迹通过ABC内一定点且该定点与O的位置和ABC的形状无关，故取O点与A点重合，由平行四边形法则，很容易看出P点在BAC的平分线上，轨迹过内心解法三：设(1,0)，(2,0)，则(1,1)(，)易知P在BAC的平分线上，轨迹过内心答案：B5如图所示，OMAB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)，且xy，则实数对(x，y)可以是()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：延长OP与AB的延长线交于点Q，设(1)，xy，由图可知其中x0且y0，又A、B、Q三点共线，(mR)，m()m(1m)，xy(1m)m1xy1.在A中，0，A错；在B中，0，而0，B错；在C中，0，且1，C对；在D中，0，而1，D错答案：C考点三：共线定理、平面基本定理的应用6(2010东莞模拟)已知a、b是不共线的向量，若1ab，a2b(1，2R)，则A、B、C三点共线的充要条件为()A121 B121C1210 D1211解析：A、B、C三点共线与共线k1210.答案：C7(2010重庆调研)在梯形ABCD中，2，AC与BD相交于O点，若a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab解析：设manb，a(manb)(1m)anb，b(manb)ma(1n)b.B、O、D三点共线，(1m)(1n)(n)(m)0.又ab，且A、O、C三点共线，nm0，解得得ab.答案：B8如图，已知OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D为将分成21的一个内分点，DC和OA交于E，设a，b.(1)用a和b表示向量，；(2)若，求实数的值解：(1)在ABC中，A为BC的中点，2，22ab.在ODC中，2abb2ab.(2)D、E、C三点共线，m2mamb，而在ODE中，ab，2mambab，即(2m)a(m)b0，a、b不共线，.1.(2008全国卷)在ABC中，c，b.若点D满足2，则等于()A.bc B.cbC.bc D.bc解析：bc，且2，()(bc)c(bc)bc.答案：A2(2009北京)已知向量a、b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向解析：cd且a，b不共线，存在唯一实数使cd.kabab，故选D.答案：D3(2009山东)设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0 B.0C.0 D.0解析：解法一：由向量加法的平行四边形法则易知，与的和向量过AC边中点，长度是AC边中线长的二倍，结合已知条件可知P为AC边中点，故0，故选B.解法二：2，2，即0.答案：B4(2009宁夏、海南)已知点O、N、P在ABC所在平面内，且|，0，则点O、N、P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心解析：|，即点O到三点A、B、C的距离相等，点O为ABC的外心如图，设D为BC边的中点，则2.0，20，2，A、D、N三点共线，点N在BC边的中线上，同理点N也在AB、AC边的中线上，点N是重心，0，()0，0，.同理，点P是ABC的垂心答案：C1.如图，已知a，b，3，用a、b表示，则等于()AabB.abC.abD.ab解析：ba，又3，(ba)a(ba)ab.答案：B2已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则等于()A B.C2 D2解析：manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)，又manb与a2b共线，(2mn)4(3m2n)0.答案：A