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2011金版新学案高三数学一轮复习 基本不等式随堂检测 文 北师大版(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!)一、选择题(每小题6分,共36分)1“ab0”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】当ab0时,显然能得出a2b22ab,即ab,但由ab,不一定能推出ab0,因为a,b可异号等,选A.【答案】A2已知f(x)x2(x0),则f(x)有()A最大值为0 B最小值为0C最大值为4 D最小值为4【解析】x0,x0,x22224,等号成立的条件是x,即x1.【答案】C3若0x1,则f(x)x(43x)取得最大值时,x的值为()A. B.C. D.【解析】0x1,43x0,x(43x)3x(43x)2,当且仅当3x43x,即x时取得等号【答案】D4有一个面积为1 m2,形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的钢管供应用,其中最合理(够用且最省)的是()A4.7 m B4.8 mC4.9 m D5 m【解析】设两个直角边为a,b,则ab2,周长pab2224.828,当且仅当ab时,等号成立【答案】C5已知不等式(xy)9,对任意正实数x,y恒成立,则正实数a取最小值为()A2 B4C6 D8【解析】(xy)1aa1a2,且(xy)9,91a2(1)2,13,即a4.a的最小值为4.【答案】B6已知函数f(x)2x,设函数y|f(x)|的最大值为m,函数yf(|x|)的最小值为n,则mn的值为()A8 B8C4 D4【解析】y|f(x)|4,当且仅当2x,即x1时取得等号,yf(|x|)|2x|4当且仅当|2x|,即x1时取等号,所以m4,n4,则mn8.【答案】B二、填空题(每小题6分,共18分)7设正数a,b满足条件ab3,则直线(ab)xaby0的斜率的取值范围是_【解析】由k,3ab2,ab2,k.【答案】8函数y(x0)的最大值为_,此时x的值为_【解析】y,当且仅当x2,即x时取等号【答案】9函数yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mxny10上,其中mn0,则的最小值为_【解析】A(2,1),A在直线mxny10,2mn10,即2mn1,mn0,m0,n0.22428.当且仅当即m,n时等号成立故的最小值为8.【答案】8三、解答题(共46分)10(15分)(1)求函数yx(x0)的最大值;(2)求f(x)3lg x的最值(0x1)【解析】(1)x0,yx2.当且仅当x时取等号,ymax.(2)0x1,lg x0,0,lg x0,0.(lg x)24.即(lg x)4,lg x4.f(x)3lg x341.当且仅当lg x即x时,取等号则有f(x)3lg x(0x1)的最大值为1,无最小值11(15分)(1)求函数yx(a2x)(x0,a为大于2x的常数)的最大值;(2)设x1,求函数y的最值【解析】(1)x0,a2xyx(a2x)2x(a2x)2当且仅当x时取等号,故函数的最大值为.(2)x1,x10设x1z0,则xz1yz5259当且仅当z2即x1时上式取等号x1时,函数y有最小值9,无最大值12(16分)西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费,对生产的羊皮手套进行促销在1年内,据测算年销售量S(万双)与广告费x(万元)之间的函数关系为S3(x0)已知羊皮手套的固定投入为3万元,每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元(年销售收入年生产成本的150%年广告费的50%)(1)试将羊皮手套的年利润L(万元)表示为年广告费x(万元)的函数;(2)当年广告费投入为多少万元时,此公司的年利润最大,最大利润为多少?(年利润年销售收入年广告费)【解析】(1)由题意知,羊皮手套的年成本为(16S3)万元,年销售收入为(16S3)150%x50%,年利润L(16S3)150%x50%(16S3)x,即L(16S3x),得L(x0)(2)由L221.5.当且仅当,即x4时,L有最大值21.5,因此,当年广告费投入为4万元时,此公司的年利润最大,最大利润为21.5万元
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