2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件,1.会用坐标表示平面向量共线的条件 2能运用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题,课前自主学案,1共线向量基本定理：如果ab，则_；反之，如果ab，且b0，则一定存在_实数，使_. 2两条不同直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20平行的条件是_.,唯一一个,A1B2A2B10,ab,ab,1两向量平行的条件 设a(a1，a2)，b(b1，b2)， (1)ab_； (2)若b不平行于坐标轴，且b10，b20，则ab ，语言表述为：两个向量平行的条件是_,a1b2a2b10,相应坐标成比例,课堂互动讲练,用向量的坐标判定两向量的共线，当坐标不为0时，看其坐标是否成比例 已知向量a(x,3)，b(3，x)，则 存在实数x，使ab； 存在实数x，使(ab)a； 存在实数x，m，使(mab)a； 存在实数x，m，使(mab)b. 其中，所有叙述正确的序号为_,【解析】 由abx29无实数解，故不对； 又ab(x3,3x)，由(ab)a得3(x3)x(3x)0，即x29无实数解，故不对； 因为mab(mx3,3mx)， 由(mab)a得(3mx)x3(mx3)0. 即x29无实数解，故不对； 由(mab)b得3(3mx)x(mx3)0， 即m(x29)0，m0，xR，故正确,【答案】 【点评】 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10直接求解 变式训练1 设i，j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，ai(2m1)j，b2imj(mR)，若ab，求向量a，b的坐标,三点共线问题的实质是向量共线问题,【点评】 利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点,向量共线的坐标表示是向量工具性的一种具体表现，也是几何问题代数化的具体表现 已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，求实数x的值，并指明此时它们是同向还是反向？,【解】 法一：a(1,1)，b(2，x) ab(3，x1)， 4b2a(6,4x2)， 又ab与4b2a平行 故6(x1)3(4x2)0，解得x2， 此时a(1,1)，b(2,2)2a. a与b的方向相同 法二：因为ab与4b2a平行， 则存在常数，使ab(4b2a)， 即(21)a(41)b， 由向量共线的判定定理可知，a与b共线，,x120，即x2. 此时a(1,1)，b(2,2)2a， a与b的方向相同 【点评】 共线向量既刻画了几何位置(共线或平行)，又建立了向量坐标之间的数量关系(x1y2x2y1)，有关共线向量的坐标表示问题，建立方程或方程组求解是常用的解题方法,1向量共线有两种表述形式 (1)ba(a0)ba，是唯一确定的实数； (2)ba(a0)a1b2a2b10. 2两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面： (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线，平行与几何中的共线、平行,(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标、参数的值、轨迹方程，要注意方程思想的应用、向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据,