第三章三角函数、解三角形第3讲 三角函数图像与性质一、必记1个知识点正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中kZ).函数ysin xycos xytan x图像定义域RRx|xR，且xk，kZ值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性为增；为减2k，2k为减；2k，2k为增 为增对称中心(k，0)对称轴xkxk无二、必明2个易误区1三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结2研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“kZ”这一条件三、必会2个方法1三角函数单调区间的求法：先把函数式化成形如yAsin(x)(0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)ysin；(2)ysin.2求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为yAsin(x)的形式，通过分析x的范围，结合图像写出函数的值域；(2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决考点一三角函数的定义域与值域1.函数f(x)3sin在区间上的值域为()A.B. C. D.解析：选B当x时，2x，sin，故3sin，即此时函数f(x)的值域是.2函数y2cos2x5sin x4的值域为_解析：y2cos2x5sin x42(1sin2x)5sin x42sin2x5sin x22(sin x)2.故当sin x1时，ymax1，当sin x1时，ymin9，故y2cos2x5sin x4的值域为9,1 类题通法1三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解2三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域考点二三角函数的单调性典例求下列函数的单调递减区间：(1)y2sin；(2)ytan.解(1)由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.故函数y2sin的单调减区间为(kZ)(2)把函数ytan变为ytan.由k2xk，kZ，得k2xk，kZ，即x0，若函数f(x)sincos在区间上单调递增，则的取值范围是()A. B. C. D1，)解析：选Bf(x)sin cossin x，若函数在区间上单调递增，则，即，故选B.2函数ycos的单调递增区间为_解析：函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.答案：(kZ)考点三三角函数的对称性与奇偶性角度一求三角函数的对称轴或对称中心1(2014揭阳一模)当x时，函数f(x)Asin(x)(A0)取得最小值，则函数yf()A是奇函数且图像关于点对称 B是偶函数且图像关于点(，0)对称C是奇函数且图像关于直线x对称 D是偶函数且图像关于直线x对称解析：选C当x时，函数f(x)取得最小值，sin1，2k(kZ)f(x)AsinAsin.yfAsin(x)Asin x.yf是奇函数，且图像关于直线x对称角度二由三角函数的对称性求参数值2(2014辽宁六校联考)已知0，函数f(x)cos的一条对称轴为x，一个对称中心为点，则有()A最小值2 B最大值2 C最小值1 D最大值1解析：选A由题意知，T，2，故选A. 类题通法1若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.2对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断课后作业试一试1函数ytan的定义域是(D)A. B. C. D.2若函数f(x)cos 2x，则f(x)的一个递增区间为()A. B. C. D.解析：选B由f(x)cos 2x知递增区间为，kZ，故只有B满足练一练1函数y|sin x|的一个单调增区间是()A. B. C. D.解析：选C作出函数y|sin x|的图像观察可知，函数y|sin x|在上递增2(2013天津高考)函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1 B C. D0解析：选B由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.做一做1下列函数中，最小正周期为的奇函数是()Aycos 2xBysin 2x Cytan 2x Dysin解析：选B选项A、D中的函数均为偶函数，C中函数的最小正周期为，故选B.2已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为，则f(x)的单调递增区间为()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)解析：选D根据已知得，得2.由不等式2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ)3函数ycos的单调减区间为_解析：由ycoscos得2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数的单调减区间为(kZ)答案：(kZ)4函数ytan的图像与x轴交点的坐标是_解析：由2xk(kZ)得，x(kZ)函数ytan的图像与x轴交点的坐标是.答案：5(2013洛阳统考)如果函数y3sin(2x)的图像关于直线x对称，则|的最小值为()A. B. C. D.解析：选A依题意得，sin1，则k(kZ)，即k(kZ)，因此|的最小值是，选A.6(2013陕西高考)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期(2)求f(x)在上的最大值和最小值解：f(x)( sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xcos sin 2xsincos 2xsin.(1)f(x)的最小正周期为T，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.由正弦函数的性质，当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(x)取得最小值.因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是.