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2014年科学素养测试数 学 试 题【卷首语】亲爱的同学们,欢迎参加一六八中学自主招生考试,希望你们凝神静气,考出水平!开放的一六八中学热忱欢迎你们!本学科满分为150分,共21题;用时120分钟。一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1. 设非零实数、满足,则的值为( )A. 2 B. C. 2 D. 12. 已知两直线(为正整数),设这两条直线与轴所围成三角形面积为,则的值是( )A. B. C. D. 3. 有一正方体,六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结果如图所示,如果记6的对面的数字为,2的对面的数字为,那么的值为( )A. 2 B. 7C. 4 D. 6第4题图4. 如图,已知ABC的面积为36,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且,四边形DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( )A. 8 B. 6 C. 9 D. 125. 设表示两个数中的最大值,例如,则函数可以表示为( )A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中作,其中三个顶点分别是O(0,0),M(1,1),N(x,y),x,y的值均为整数),则所作不是直角三角形的概率为( )第7题图A. B. C. D. 7. 如图,以半圆的一条弦(非直径)为对称轴将弧折叠后与直径交于点,若,且,则的长为( ) A. B. C. D. 4ADFCEHB(第8题图)8. 矩形ABCD中,动点E从点C开始沿CB以2cm/s的速度运动至B点停止,动点F从点C同时出发沿CD以1cm/s的速度运动至点D停止如图可得到矩形CFHE,设运动时间为x(单位:s),此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位:),则能大致反映y与x之间的函数关系的图象是下图中的( )Oy(cm2)x(s)481646AOy(cm2)x(s)481646BOy(cm2)x(s)481646COy(cm2)x(s)481646D 二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)第9题图第14题图9. 如图,在梯形ABCD中,AD/BC,CE是的平分线,且,E为垂足,BE=2AE,若四边形AECD的面积为1,则梯形ABCD的面积为_;EDBCA 10. 分解因式:_;11. 已知为有理数,且满足,则=_;12. 已知抛物线经过点A(4,0),设点C(1,),请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得的值最大,则D点的坐标为_;13. 若是方程的两个根,则实数的大小关系为_;14. 如图,点D,E分别是ABC的边AC,AB上的点,直线BD与CE交于点F,已知CDF,BFE,BCF的面积分别是3,4,5,则四边形AEFD的面积是_;15. 如图,在中,和的平分线相交于点,过点作交于,交于,过点作于下列四个结论:;以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切;ADFC第15题图设则;不能成为的中位线其中正确的结论是_(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,共75分)16. (12分)(1)已知为实数,且,求的值;(2),求的值。17. (12分)已知三角形的三边长为三个连续的正整数,并且有一个内角为另一个内角的2倍,求这个三角形的三边长。18. (12分)如图,在直角三角形ABC中,,点D从点C出发,沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动,同时,点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动。设点D、 E运动的时间是秒,过点D作于点F,连接DE、EF。(1)四边形AEFD能够为菱形吗?如果能,求出相应的值;如果不能,说明理由。(2)当为何值时,为直角三角形?请说明理由。DCFBEA第18题图19. (13分)如图(1),在矩形ABCD中,将矩形折叠,使点B落在AD(含端点)上,落点记为E,这时,折痕与边BC或边CD(含端点)交与点F,然后再展开铺平,则以点B、 E、F为顶点的称为矩形ABCD的“折痕三角形”。(1)如图(2),在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,当它的“折痕”的顶点位于边AD的中点时,画出“折痕”,并求出点F的坐标;(2)如图(3),在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕”?若存在,求出点E的坐标,若不存在,说明理由。xyECFD(B)OA(1)FxyECD(B)OA(2)xyECFD(B)OA(3)20. (13分)某县城一楼盘一楼是车库(暂不销售),二楼至二十三楼均为商品房(对外销售),商品房售价方案如下:第八层售价为3000元/米2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价增加40元;反之,从第八层起楼层每下降一层,每平方米的售价减少20元,已知商品房每套面积均为120平方米,开发商为购买者制定了两种购房方案。方案一:购买者先缴纳首付金额(商品房总价的30%),再办理分期付款(即贷款);方案二:购买者若一次性付清所有房款则享受8%的优惠,并免收五年物业管理费(已知每月物业管理费为元)(1)请写出每平方米售价(元/米2)与楼层是正整数)之间的函数解析式;(2)小王已筹到120000元,若用方案一购房,他可以购买哪些楼层的商品房?(3)有人建议老李使用方案二购买第十六层,但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算,你认为老李的说法正确吗?请说明理由。21. (13分)如图,已知抛物线与轴交于点C,与轴交与A、B两点,点A在点B左侧,点B的坐标为(1,0),OC=3OB。(1)求抛物线的解析式;(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值;(3)若点E在轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由。 第21题图- 8 -
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