二次根式和它的化简,4.1,4.1.2 二次根式的化简,如图4-1，正方形ABCD的边长为2，它的对角线AC的长是多少？,图4-1,由于B=90， 因此 AC2 = AB2+BC2 = 22+22 =8. 从而AC= .,能化简吗？,从例2的第(2)小题知道，,一般地，当a0，b0时，由于,公式从左到右看，是积的算术平方根的性质.,利用积的算术平方根的这一性质，可以化简二次根式,举 例,例3 化简下列二次根式：,举 例,例4 设a0，b0，化简下列二次 根式：,从例3和例4看到，化简二次根式时，首先把根号下的平方因子挑出来(例如，把 写成 )；,然后根据积的算术平方根的性质和公式，就可以把根号下的平方因子去掉平方号后移到根号外面(例如， ).,今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外(注意：移到根号外的数必须是非负数).,举 例,例5 设a0，b0，化简下列二次根式：,1. 化简下列二次根式：,2.设a0，b0，化简下列二次根式：,3.化简下列二次根式，其中a0，b0.,如图4-2，矩形ABCD的边BC的长为2cm， 对角线AC的长为4cm. 试问：边AB的长是多少？,图4-2,由于B=90， 因此AB2=AC2-BC2 = . 从而AB= (cm).,42-22=12,举 例,例6 如图4-3，菱形ABCD的两条对角线BD， AC的长分别为8， ，求它的边长.,图4-3,解 设菱形ABCD的两条对角线相交于点O.,图4-3,由于ACBD，因此OAB是直角三角形.,=43+16,=28.,从而,举 例,例7 化简下列二次根式：,举 例,例8 设a0，b0，化简下列二次根式：,观察上面例7和例8(1)的最后结果： 等，可以发现其中的二次根式有着下面的特点：,（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；,（2）被开方数中不含分母.,把满足上述两条件的二次根式，叫做最简二次根式.,一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成最简二次根式.,1. 化简下列二次根式：,2. 设a0，b0，化简下列二次根式：,答案：2a+b,结 束,