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江苏省东台市创新学校2015届高三12月月考数学试题数 学一、填空题:(共14小题,每题5分,满分70分)1已知集合,则= 2若复数为纯虚数,是虚数单位,则实数的值是 3已知复数,(为虚数单位)在复平面内,对应的点在第 象限4命题:“,”的否定是 5已知是等差数列,若,则的值是 6若将甲、乙两个球随机放入编号为,的三个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在,号盒子中各有一个球的概率是 (第10题图)7在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程是,且经过点,则该双曲线的方程是 8若,则的值是 9若,是实数,则的最大值是 10如图,在正三棱柱中,若各条棱长均为2,且M为的中点,则三棱锥的体积是 11设函数是定义在上的奇函数,当时,则关于的不等式的解集是 (第13题图)DCBA12已知光线通过点,被直线:反射,反射光线通过点, 则反射光线所在直线的方程是 13如图,已知中,是的中点,若向量,且的终点在的内部(不含边界),则的取值范围是 14已知函数,若关于x的不等式的解集为空集,则实数a的取值范围是 二、解答题 本大题共6小题, 1517每小题14分,1820每小题16分,共计90分请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知的内角的对边分别为, (1)若,求的值;(2)若,求的值(第16题图)PBCAD16如图,在四棱锥中,底面是菱形,且(1)求证:;(2)若平面与平面的交线为,求证:17如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已知为直径,且km,为圆心,为圆周上靠近 的一点,为圆周上靠近 的一点,且现在准备从经过到建造一条观光路线,其中到是圆弧,到是线段.设,观光路线总长为.(第17题图)()求关于的函数解析式,并指出该函数的定义域; ()求观光路线总长的最大值. 18已知函数(其中是自然对数的底数),(1)记函数,且,求的单调增区间;(2)若对任意,均有成立,求实数的取值范围 19如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆,设是椭圆上的任一点,从原点向圆:作两条切线,分别交椭圆于点,.(1)若直线,互相垂直,求圆的方程;(2)若直线,的斜率存在,并记为,求证:;(第19题图)(3)试问是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由20已知数列是等差数列,其前n项和为Sn,若,(1)求;(2)若数列Mn满足条件: ,当时,其中数列单调递增,且,试找出一组,使得;证明:对于数列,一定存在数列,使得数列中的各数均为一个整数的平方22.在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程是(是参数),若以为极点,轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线的极坐标方程23 如图,在直三棱柱中,已知,点,分别在棱,上,且, FEB1ACBAA(第23题图)(1)当时,求异面直线与所成角的大小;(2)当直线与平面所成角的正弦值为时,求的值24已知数列的各项均为正整数,对于任意nN*,都有 成立,且(1)求,的值;(2)猜想数列的通项公式,并给出证明数学答题纸一、填空题:(共14小题,每题5分,满分70分)1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 二、解答题15、16、(第16题图)PBCAD17、18、19、20、2015届高三年级摸底考试数学附加题答题纸21、22、23、FEB1ACBAA(第23题图)24、一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共计70分不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)1 2 3二 4, 5 6 7 8 9 1011 12 13 14二、解答题 本大题共6小题, 1517每小题14分,1820每小题16分,共计90分请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤(2)因为, 所以 9分 11分(第16题图)PBCADO所以 14分16(1)连接AC,交BD于点O,连接PO 因为四边形ABCD为菱形,所以 2分 又因为,O为BD的中点, 所以 4分 又因为 所以,又因为 所以7分(2)因为四边形ABCD为菱形,所以 9分 因为 所以 11分又因为,平面平面 所以 14分17(1)由题意知, 2分, 5分因为为圆周上靠近的一点,为圆周上靠近的一点,且,所以所以 , 7分(2)记,则, 9分令,得, 11分列表x(0,)(,)0f (x)递增极大值递减所以函数在处取得极大值,这个极大值就是最大值,13分即, 答:观光路线总长的最大值为千米 14分18(1)因为,所以, 2分令,因为,得或, 5分所以的单调增区间为和; 6分(2)因为对任意且,均有成立,不妨设,根据在上单调递增,所以有对恒成立,8分所以对,恒成立,即对,恒成立,所以和在都是单调递增函数,11分当在上恒成立,得在恒成立,得在恒成立,因为在上单调减函数,所以在上取得最大值,解得 13分当在上恒成立,得在上恒成立,即在上恒成立,因为在上递减,在上单调递增,所以在上取得最小值,所以, 15分所以实数的取值范围为 16分19(1)由圆的方程知,圆的半径的半径,因为直线,互相垂直,且和圆相切,所以,即,1分又点在椭圆上,所以,2分联立,解得 3分所以所求圆的方程为 4分(2)因为直线:,:,与圆相切,所以,化简得6分同理,7分所以是方程的两个不相等的实数根,8分因为点在椭圆C上,所以,即,所以,即 10分(3)是定值,定值为36,11分理由如下:法一:(i)当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得12分所以,同理,得,13分由,所以 15分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有,综上: 16分 法二:(i)当直线不落在坐标轴上时,设,因为,所以,即, 12分因为在椭圆C上,所以, 即, 13分所以,整理得,所以, 所以 15分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有,综上: 16分20(1)设数列的首项为,公差为,由,得, 2分解得,所以4分(2)因为,若,因为,所以,此方程无整数解; 6分若,因为,所以,此方程无整数解;8分若,因为,所以,解得,所以,满足题意10分 由知,则,一般的取, 13分此时,则,所以为一整数平方因此存在数列,使得数列中
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