江苏省丹阳高级中学江苏省丹阳高级中学 20142014 届高三数学第三次模拟考试试卷届高三数学第三次模拟考试试卷 一一、 填空题填空题（共共1 14 4 小小题题，每每小小题题5 5 分分，共共计计7 70 0 分分请请把把答答案案填填写写在在 答答题题卡卡相相应应位位置置上上 ） 1已知集合，则 1,2,31,2,2,3ABAB 2已知i是虚数单位，复数z满足1)31 (iz，则 | z_ 2 1 3的值为 -2 12 coslog 12 sinlog 22 4一组数据 9.8， 9.9， 10，a， 10.2 的平均数为 10， 则该组数据的方差为 0.02 5执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为时，4 则输入的的值为 10 0 S 6已知单位向量, i j 满足(2)jii ，则, i j 的夹角为 3 7已知点( , )P a b与点(1,0)Q在直线的两侧，2310xy 且，则的取值范围是 0, 0ab 1a b ) 0 , 3 1 ( 8设是等比数列的前项和，若，则 n S n an, 132 21 aa 43 3aa 1 nn aS2 9已知，是空间中两条不同的直线，是空间中三个不mn 同的平面， 则下列命题正确的序号是 若，则； 若，则；/ /mnmn/ /mn/ /m/ /n 若，则； 若，则/ /m/ /m/ / / 10设为图象上任意一点， 为在点处的切线，则坐标原点到 距离P2 4 1 2 xyClCPOl 的最小值为 2 11将一枚骰子抛掷两次，记先后出现的点数分别为，cb, 则方程有实根的概率为 0 2 cbxx 36 19 12A：(x3)2+(y5)2=1，B:(x2)2+(y6)2=1，P 是平面内一动点，过 P 作 A、B 的切线，切点分别为 D、E，若的最小值为 |),0 , 0(|,|POOPEPD则 2 2 3 13若关于 x 的不等式(组)任意 nN*恒成立 9 2 ) 12( 2 3 1 0 2 2 n n xx 则所有这样的解 x 的集合是 3 2 , 3 1 14在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，D 在线段 AC 上，AD=AC（为常数，且） ，kk10 k 为定长，则ABC 的面积最大值为 lBD )1 (2 2 2 k l 16 （本题满分 14 分） 已知函数（Rx , 0，是实常数）的图像上的一个mxxxfcossin3)(m 最高点 1 , 6 ，与该最高点最近的一个最低点是 3, 3 2 ， (1)求函数 xf的解析式及其单调增区间； (2)在锐角三角形ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为cba,，且acBCAB 2 1 ， 试求函数的取值范围.)(Af 17 （本题满分 14 分） 某公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 10 万元到 1000 万元的投资收益，现准备 制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 y（单位：万元）随投资收益 x（单位：万元）的 增加而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过收益的 20%。 （1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型)(xfy )(xf 的基本要求，并分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因。2 150 x y （2）该公司是否可以用函数作为奖励模型函数，如果可以，试确定最小的正 2 310 x ax y 整数的值，如果不可以，请说明理由。a 又对于任意的恒成立，知得0)(xf1000,10x03100 a 3 100 a 故该公司不可以用函数作为奖励模型函数。 2 310 x ax y 18 （本题满分 16 分） 在平面直角坐标系xoy中，已知 12 ,F F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Gab ab 的左、右焦点， 椭圆G与抛物线 2 4yx 有一个公共的焦点，且过点 6 (,1) 2 . (1)求椭圆G的方程; (2) 设点P是椭圆G在第一象限上的任一点,连接 12 ,PF PF,过P点作斜率为k的直线l, 使得l与椭圆G有且只有一个公共点,设直线 12 ,PF PF的斜率分别为 1 k, 2 k,试证明 12 11 kkkk 为定值,并求出这个定值； （3）在第(2)问的条件下，作 22 F QF P，设 2 F Q交l于点Q， 证明：当点P在椭圆上移动时，点Q在某定直线上. 解：（1）解(1)由题意得1c ，又 22 31 1 2ab +-2 分 消去b可得， 42 2730aa，解得 2 3a 或 2 1 2 a （舍去） ， 则 2 2b ，椭圆G的方程为 22 :1 32 xy C- -4 分 -3 分 -6 分 -8 分 -10 分 -12 分 -14 分 x y O F1F2 P Q l （2）设直线l的方程为，点mkxy),( 00 yxP 由0636)23( 0632 222 22 mkmxxk mkxy yx - 22 320km -6 分 ，当时，直线和椭圆相交，0 3 23 3 2 0 m k k km x0k0m 0, 0mk 2 0 22 3 6 32 x mkm 由 - 0 0 0 2 02 0 2 0 2 0 3 22 3 )3(2 1 23y x k y m x y yx 得 -9 分 1 , 1 , 1 23 , 2 3 2 0 0 2 0 0 1 00 00 0 x y k x y k yyxx yy xx y而整理得 代入得 12 11 kkkk 定值 - 3) 11 ( 2 3 0 0 0 0 0 0 y x y x x y -12 分 用导数求解也可，若直接用切线斜率公式扣 3 分 （3）的斜率为，又 2 PF1 0 0 x y kPF 0 0 22 1 y x KQFPF FQ 从而直线的方程为：，联立方程 2 PF ) 1( 1 0 0 x y x y 1 23 ) 1( 1 00 0 0 yyxx x y x y 消去得方程，得点在直线上- y0)3)(3( 0 xxQ 3x -16 分 19 （本题满分 16 分） 数列 n a的首项为a（0a） ，前n项和为 n S，且aStS nn 1 （0t） 设 1 nn Sb， nn bbbkc 21 （ Rk） （1）求数列的通项公式 n a （2）当时，若对任意，恒成立，试求a的取值范围1t Nn| 3 bbn （3）当时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得 n c为等比数列，1t 且， t， k成等差数列a 解：（1） aStS nn 1 ，时 2n atSS nn 1 两式相减得（） ，又由得 nn taa 12n atSS 1212 taa 所以是首项为，公比为 的等比数列，所以 - n a at 1 . n n taa -4 分 20 （本小题满分 16 分） 已知函数，( )ln()f xaxxc xc0a 0c （1）当，时，求函数的单调区间； 3 4 a 1 4 c ( )f x （2）当时，若对恒成立，求实数的取值范围；1 2 a c 1 ( ) 4 f x ( ,)xca （3）设函数的图象在点、两处的切线分别为、( )f x 11 (,()P xf x 22 (,()Q xf x 1 l 2 l 若，且，求实数的最小值 1 2 a x 2 xc 12 llc 解：函数，求导得 2 2 ln() , ( ) ln() , axxcxc f x axxcxc 2 2 22 , ( ) 22 , xcxa xc x fx xcxa xc x （3）由知，而，则， 12 ll()( )1 2 a ffc ( ) a fc c () 2 ac f a 若，则，所以， 2 a c 2()2 22 ()2 2 2 aa ca a fc a 2 c c a 解得，不符合题意； - 1 2 a -11 分 故，则， 2 a c 2()2 22 ()82 2 2 aa ca ac fac aa 整理得，由得， - 8 21 aa c a 0c 1 2 a -13 分 令，则，所以，8at 2 8 t a 2t 2 3 22 8 28 1 4 t t t c tt 设，则， 3 2 ( ) 28 t g t t 22 22 2 (12) ( ) (28) tt g t t 当时，在上单调减；22 3t ( )0g t ( )g t(2,2 3) 当时，在上单调增2 3t ( )0g t ( )g t(2 3,) 所以，函数的最小值为，故实数的最小值为 -( )g t 3 3 (2 3) 2 gc 3 3 2 -16 分 第第卷卷( (附加题附加题) ) B、设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换 （1）求矩阵M逆矩阵； （2）求矩阵M的特征值及相应的特征向量 解：（1）由条件得矩阵 20 03 M - -3 分 它的特征值为2和3，对应的特征向量为 1 0 及 0 1 - -6 分 （2） 1 1 0 2 1 0 3 M - 10 分 C选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆 C 的参数方程为，(为参数，).以xOy 2 cos 2 2 sin 2 xr y