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江苏省如东高级中学2014-2015学年高二数学12月阶段考试试题(必修)一、填空题1. 命题“”的否定是 . 2. 抛物线的准线方程是3.已知的周长为16,点B(-3,0),C(3,0),则顶点A的轨迹方程为 .4. 已知,则的最小值为 .5. 已知双曲线的渐近线方程为,且点P()在双曲线上,则双曲线的方程为 6. 下列四个命题:(1)“若,则”的否命题;(2)“若,则”的逆否命题;(3)在中,“”是“”的充分不必要条件;(4) “数列的前n项和是”是“数列是等差数列”的充要条件.其中真命题的序号是_(真命题的序号都填上) (1)(4)7. 等比数列的公比,且成等差数列,则= -28.若抛物线上的点到焦点的距离为6,则p= 89.若不等式成立的一个充分不必要条件是,则实数的取值范围是 .10. 已知点P (x,y) 满足条件y的最大值为8,则 . 11. 数列的前n项和,则 12.关于x的不等式的解集为,则p+q= . 613. 在直角坐标系中,过双曲线的左焦点作圆的一条切线(切点为)交双曲线右支于,若为线段的中点,则= 2 14.如图所示,设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB1A1,A1B2A2,直角顶点在曲线上,则x轴上的点An(n=1,2,3,n,)的横坐标依次组成的数列为,则数列的通项公式为 二、解答题15. (本题14分)已知命题p:方程表示双曲线,命题q:关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个相异实根均大于3若p、q中有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围解:p真: 4分q真: 9分p、q中有且仅有一个为真命题,则P真q假 或 p假q真所以,或 14分16. (本题14分)已知数列的前n项和(1)求数列的通项公式,并证明为等差数列;(2) 记,若,求m的取值范围解:(1) 4分 6分(2) 10分在上单调递增,所以n=1时所以m的取值范围是 14分17. (本题14分)已知椭圆C:,(1)若直线l过点Q(1,1),交椭圆C于A、B两点,求直线l的方程使得Q为AB的中点;(2)定点M(0,2),P为椭圆C上任意一点,求线段PM的最大值解:(1) 7分(2) 14分18. (本题16分)因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50(即=50)的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客的眼睛到地面的距离在区间内. 设支架高为, , 顾客可视的镜像范围为(如图所示), 记的长度为().() 当时, 试求关于的函数关系式和的最大值;第18题ABCDEFGA1() 当顾客的鞋在镜中的像满足不等关系(不计鞋长)时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求的取值范围. (1) 因为,所以由,即,解得,同理,由,即, 解得2分 5分, 因为在上单调递增,所以在上单调递减,故当时, 取得最大值为1408分 (2)由,得,由,得,所以由题意知,即对恒成立12分从而对恒成立,解得,故的取值范围是16分19. (本题16分)已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点和椭圆上位于轴上方的动点,直线与直线分别交于两点(I)求椭圆的方程;()求证:直线AS与BS的斜率的乘积为定值;()求线段MN的长度的最小值解:(I)由已知得,椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为4分()设9分()(常规方法,函数思想)直线AS的斜率显然存在,且,故可设直线的方程为,从而11分由得0设则得,从而 即又由得13分故又 当且仅当,即时等号成立 时,线段的长度取最小值16分()方法二:利用第2问结论设13分故当且仅当时等号成立即M,N的长度的最小值为16分20. 设等比数列的首项为,公比为(为正整数),且满足是与的等差中项;数列满足().(1)求数列的通项公式;(2)试确定的值,使得数列为等差数列;(3)当为等差数列时,对每个正整数,在与之间插入个2,得到一个新数列. 设是数列 的前项和,是否存在m,使得成立?若存在求出m的值;若不存在,请说明理由.解析 :解:(1)4分(2)得,所以则由,得8分当时,由,所以数列为等差数列10分(3)存在=89 16分如东中学高二第一学期数学阶段测试(含答案)数学2. 已知矩阵M 所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A (13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标解答:(1)解:依题意得由得,故5分从而由得故为所求. 10分3.已知椭圆内一点A(),F为椭圆的右焦点,在椭圆上有一点P,求的最小值及取得最小值时点P的坐标答案:最小值7, 5分点P() 10分4. 已知抛物线C:y22px(p0)的准线为l,焦点为F.圆M的圆心在x轴的正半轴上,且与y轴相切过原点O作倾斜角为的直线n,交l于点A,交圆M于另一点B,且AOOB2.(1)求圆M和抛物线C的方程;(2)若P为抛物线C上的动点,求的最小值;(3)过l上的动点Q向圆M作切线,切点为S,T,求证:直线ST恒过一个定点,并求该定点的坐标解(1)因为OAcos 6021,即p2,所以抛物线C的方程为y24x.设圆M的半径为r,则r2,所以圆M的方程为(x2)2y24.
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