12 函数及其表示,12.1 函数的概念,1设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x的每一个值，y都有 确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量,唯一,答案：(1)是 (2)不是,3下面我们用集合与对应的观点来研究函数，先阅读教材P1516，再回答问题 设A、B是 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 ，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数记作 ，其中x叫做 ， 叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合 叫做函数的值域,非空数集,任意一个数x,唯一,yf(x),自变量,A,函数值,y|yf(x)，xA,4函数的定义域是使函数有意义的自变量x的取值集合，值域是函数值的集合 (1)一次函数ykxb(k0)的定义域为 ； 值域为 .,R,R,(5)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义； 一种练习本的单价为0.6元，买本子的个数x与应付钱数y之间的函数关系为 ，其中x的允许取值范围是 .,y0.6x,xN,5如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么就称这两个函数相等 (1)只要两个函数的定义域相同，对应法则相同，其值域就 故判断两个函数是否相等时，一看定义域，二看对应法则 如y1与y 不是相等函数，因为 y3t4与y3x4是相等函数 (2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示,一定相同,定义域不同,6阅读教材P17填表.,axb,(a，b,xb,(a，),(，),区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，如x|axb(a，b，x|xb(，b,本节重点：函数的概念、定义域、值域的求法 本节难点：(1)函数概念的理解 (2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数定义域,(一)对函数yf(x)涵义的理解，应明确以下几点： “A，B是非空数集”，若求得自变量取值范围为，则此函数不存在 定义域、对应法则和值域是函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决定的，所以看两个函数是否相等，只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同,yf(x)中f为对应法则，当情况比较简单时，对应法则f可用一个解析式来表示但在有些问题中，对应法则f也可能不便用或不能用一个解析式来表示，这时就必须采用其他方式，如数表或图象等 函数符号“yf(x)”是“y是x的函数”的数学表示，仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量xa时函数f(x)的值，而f(x)是自变量x的函数一般情况下，f(x)是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值,(二)复合函数定义域的求法 已知f(x)定义域为A，求f(x)定义域，应使(x)A；已知f(x)定义域为A，求f(x)定义域，即求当xA时，(x)的值域,分析 (1)据函数的定义：“对于集合A中的任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应”进行判断 (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域到值域的对应法则，只要将自变量允许值代入，就可以求得对应的函数值,总结评述：判断由一个式子是否能确定y是x的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的x的取值集合中任一个x的值，由式子是否可确定唯一的一个y的值与之对应，也可以看由式子解出x的解析式是否唯一,(1)已知集合A1,2,3,4，B5,6,7，在下列A到B的四种对应关系中，能确定A到B的函数关系的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4,解析 (1)能确定A到B的函数关系，它们都满足对于A中每一个元素，在B中有惟一元素与之对应且A，B都是非空数集；都不能确定A到B的函数关系的集合A中元素4在B中无对应元素；的集合A中元素3，在B中有两个元素与之对应，故选B.,分析 确定两个函数是否相等，要紧紧抓住函数的定义域和对应法则根据函数的定义可知，定义域中的每一个x都有唯一的y与它对应，所以值域实际上是由定义域和对应法则确定，因此，两个函数只要定义域和对应法则分别相同，它们就是相等函数,解析 中f(x)x1，xR，而yxx0中x0，它们的定义域不相同，所以不是相等函数 中两个函数的定义域都是R，并且f(x) |2x1|，所以它们是相等函数 中f(n)2n1(nZ)与g(n)2n1(nZ)的定义域都是Z，值域也相同(都是奇数集)，但对应法则不同，所以不是相等函数 中f(x)3x2与g(t)3t2的定义域都是R，尽管它们表示自变量的字母不同，但是，对应法则都是“乘3加2”，是相同的对应法则，所以是相等函数 故填.,总结评述：从函数的概念可知，函数有定义域、值域、对应法则三要素，其中，定义域是前提，对应法则是核心，值域是由定义域和对应法则确定的因此， 1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同，它们就不是同一个函数只有当定义域和对应法则都相同时它们才是相等函数 2)对应法则f是函数关系的本质特征，要深刻理解，准确把握，它的核心是“法则”通俗地说，就是给出了一个自变量后的一种“算法”，至于这个自变量是用x还是用t或者别的符号表示，那不是“法则”的本质，因此，对应法则与自变量所用的符号无关,3)从本题我们也得到这样的启示：在对函数关系变形或化简时，一定要注意使函数的定义域保持不变，否则，就变成了不同的函数这也正说明了函数的定义域是函数不可忽视的一个重要组成部分例如f(x)x2x (x1)，f(3)3236，但f(1)是无意义的，不能得出f(1)(1)2(1)2，因为只有当x取定义域1，)内的值时，才能按这个法则x2x进行计算,解析 要使函数有意义，只要x25x60，即(x2)(x3)0，2x3. 故函数的定义域为x|2x3,答案 xR且x1，x2,例4 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元 (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？,周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如右图所示)若矩形底边长为2x，求此框架围成图形的面积y关于x的函数，并求出定义域,例5 设yf(x)的定义域是0,2，求下列函数的定义域 (1)f(x3)；(2)f(|2x1|)；(3)f(xa)f(xa)(0a1) 分析 根据“若f(x)的定义域为a，b，则fg(x)的定义域为ag(x)b的解集”来解相应的不等式(或不等式组),已知yf(x1)的定义域为0,1则yf(x)的定义域为_ 解析 由题设使yf(x1)有意义的x允许取值范围是0x1.1x12 欲使yf(x)有意义，须1x2. 此函数的定义域为1,2.,分析 因为函数yf(x)，当x在函数的定义域内时f(x)都有意义，又f(xy)f(x)f(y)对任意实数x，y(xy0)都成立，故只要取某些特殊值即可得证,点评 由于函数f(x)对任意非零实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)成立因此当x、y取某些特殊值时一定成立，故解决这类问题可用赋值法，通过赋值产生已知条件式和待求解的结论式使之建立联系,例7 某农户计划建筑一矩形羊圈，现有可作为围墙的材料总长度为100米，求羊圈的面积S与长x的函数关系式 错解 设羊圈的长为x米，则宽为(50x)米，由题意得，Sx(50x)， 故函数关系式为Sx(50x) 辨析 解题到此为止，则本题的函数关系式还不完整，缺少自变量x的范围，也就是说解题思路不够严密,正解 设羊圈的长为x米，则宽为(50x)米，由题意得，Sx(50x)， 因为羊圈的长和宽都不能小于等于零，也就是羊圈的面积应为正数， 故函数关系式为Sx(50x) (0x50),一、选择题 1给出下列从A到B的对应： AN，B0,1，对应关系是：A中的元素除以2所得的余数 A0,1,2，B4,1,0，对应关系是f：xyx2 其中表示从集合A到集合B的函数有( )个 ( ) A1 B2 C3 D0,答案 B 解析 由于中，0这个元素在B中无对应元素，故不是函数，因此选B.,2已知xA，yB，在以下的对应中，y不是x的函数的是(如下图) ( ),答案 A 解析 在A图中，集合A中元素1在集合B中有两个元素1和1与之对应，故y不是x的函数,3下列各图中，不可能表示函数yf(x)的图象的是 ( ),答案 B 解析 B图中，作垂直于x轴的直线，与图形可以有两个交点，故存在x，有两个y值与之对应，故B图y不是x的函数,4Ax|0x2，By|1y2，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是 ( ),答案 B 解析 A、C、D的值域都不是1,2，故选B.,5某种细胞分裂时，每次分裂由1个分裂为2个，2个分裂为4个一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数y与x的函数关系式为 ( ) Ay2x By2x Cy4x Dyx4 答案 B,答案 A,