第 一节 数 列,1数列的定义 按照 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 2数列的分类,一定顺序,3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 、 和 4数列的通项公式 如果数列 的第n项an与 之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式,列表法,图象法,解析法,序号n,anf(n),1.数列是否可以看作一个函数，若是，则其定义域是什么？ 提示：可以看作一个函数，其定义域是正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，n），可表示为an=f（n）.,2数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？ 提示：不唯一，如数列1,1，1,1，的通项公式可以为an(1)n或an ，有的数列没有通项公式,【解析】 1可以写成 ，分母为3,5,7,9，即2n1， 分子可以看为13,24,35,46， 故为n(n2)，即an .,此题也可用排除法求解，只需验证当n1时A选项为 ，B选项为 ，C选项为 ，均不为1，故排除A、B、C，从而选D. 【答案】 D 2在数列 中a11，a25，an2an1an(nN*)，则a100( ) A1 B1 C5 D5,【解析】 方法一：由a11，a25，an2an1an(nN*)可得该数列为1,5,4，1，5，4,1,5,4，. 由此可得a1001. 方法二：an2an1an，an3an2an1， 两式相加可得an3an，an6an， a100a1664a41. 【答案】 B,3已知数列 的通项公式是an ，那么这个数列是( ) A递增数列 B递减数列 C摆动数列 D常数列,【答案】 A,4已知数列前n项和Sn2n23n1，nN*，则它的通项公式为_ 【解析】 当n1时，a1S10， 当n2时，anSnSn1 2n23n12(n1)23(n1)14n5. a1不适合an，则其通项公式为an . 【答案】 an,5已知数列 的前n项积为Tn5n2，nN*，则a2 009_. 【解析】 当n2时，an 52n1. a2 009522 009154 017. 【答案】 54 017,写出下列各数列的一个通项公式：,【思路点拨】 由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一 【自主探究】 (1)各项是从4开始的偶数， 所以an2n2. (2)每一项分子比分母少1，而分母可写为21,22,23,24,25，故所求数列的一个通项公式可写为an . (3)带有正负号，故每项中必须含有(1)n1这个因式，而后去掉负号，观察可得 将第二项1写成 .,分母可化为3,5,7,9,11,13，为正奇数， 而分子可化为121,221,321,421,521,621，故其一个通项公式可写为： an(1)n1 . (4)将数列各项改写为 ，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041， 所以an (10n1),【方法点评】 1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征；,(1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想 2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整 3观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决,其中是数列1,0，1,0,1,0，1,0，的通项公式的有_(将所有正确公式的序号全填上) 【解析】 由知其各项是1与0相间的与已知不符，故不是；中n分别取1,2,3,4,5，正好与已知数列相符，故是；为各项是1与0相间的，故不是；当n3时，a31与已知不符，故不是；中n取1,2,3,4，所得各项与已知数列完全相符，故是 【答案】 ,根据下列条件，确定数列an的通项公式 (1)a11，an13an2； (2)a11，an1(n1)an； (3)an0， . 【思路点拨】 (1)可用构造等比数列法求解 (2)可转化后利用累乘法求解 (3)将无理问题有理化，而后利用Sn与an的关系求解,【自主探究】 (1)an13an2， an113(an1)， 3， 数列an1为等比数列， 公比q3，又a112， an123n1，an23n11.,8an(anan14)(anan1)， (anan1)(anan14)0， an0，anan10， anan140，即anan14. 数列an为等差数列，且公差d4， 又a1S1 ， a12，an24(n1)4n2. 【方法点评】 由a1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等,1构造等比数列，已知首项a1，递推关系为an1qanb(nN*)，求数列an的通项公式的关键是将an1qanb转化为an1aq(ana)的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即qanban1qan(q1)aa (q1) 2已知a1且anan1f(n)(n2)，可以用“累加法”，即anan1f(n)，an1an2f(n1)，a3a2f(3)，a2a1f(2) 所有等式左右两边分别相加，得 (anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1) f(n)f(n1)f(3)f(2)， 即ana1f(2)f(3)f(n1)f(n),f(2)f(3)f(n1)f(n)， 即ana1f(2)f(3)f(n1)f(n.),2在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*，其中0)，求数列an的通项公式 【解析】 由an1ann1(2)2n(nN*)，0，可得,an(n1)n2n.,已知数列an的前n项和为Sn，求an的通项公式 (1)Sn2n23n；(2)Sn3nb. 【思路点拨】 利用数列的通项an与前n项和Sn的关系,【自主探究】 (1)当n1时， a1S11， 当n2时，,anSnSn14n5. 又a11，适合an4n5， an4n5. (2)当n1时，a1S13b. n2时，anSnSn123n1. 因此，当b1时，a12适合an23n1， an23n1. 当b1时，a13b不适合an23n1， an 综上可知，当b1时，an23n1； 当b1时，an,【方法点评】 数列的通项an与前n项和Sn的关系是 an 此公式经常使用，应引起重视当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的形式表示,3已知数列an的前n项和Sn满足log2(Sn1)n1， 求an.,【解析】 由log2(Sn1)n1，得Sn12n1， Sn2n11，当n2时，anSnSn1(2n11)(2n1)2n；当n1时，a1S12213. an,1(2009年安徽高考)已知an为等差数列，a1a3a5105， a2a4a699.以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到 最大值的n是( ) A21 B20 C19 D18 【解析】 an为等差数列， a1a3a5105a335， a2a4a699a433， da4a333352， an是递减数列,ana3(n3)d35(n3)(2) 2n41， an0，2n410，n ， 当n20时，an0， n20时，Sn最大，故选B. 【答案】 B,2(2008年江西高考)在数列an中，a12，an1anln(1 )，则an( ) A2lnn B2(n1)lnn C2nlnn D1nlnn,【解析】 因为an1anln(1 )， 从而有anan1ln an1an2ln a2a1ln2 累加得an1a1ln 2ln(n1)， an2lnn，故应选A. 【答案】 A,3(2009年北京高考)若数列an满足：a11，an12an(nN*)，则a5_；前8项的和S8_.(用数字作答) 【解析】 依题知数列an是首项为1，公比为2的等比数列， a52416，S8281255. 【答案】 16 255 4(2009年北京高考)已知数列an满足：a4n31，a4n10， a2nan，nN*，则a2 009_；a2 014_. 【解析】 a2 009a503431，a2 014a21 007a1 007a425210. 【答案】 1 0,1数列的概念及简单表示 数列中的数是有序的，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同；数列的简单表示要类比函数的表示方法来理解数列an可以看作是一个定义域为正整数集或它的子集1,2,3，n的一列函数值 2由数列的前几项归纳出其通项公式 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征和绝对值特征并对此进行归纳、化归、联想,3由递推公式求数列中的项或通项 递推公式是给出数列的一种方式，读懂递推公式，搞清相邻项之间的关系，或由两项之间的关系构造数列，求出其通项公式 4Sn与an的关系 由Sn求an，an ，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式,课时作业 点击进入链接,