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考点1,考点2,考点3,返回目录,考 纲 解 读,等差数列、等比数列前n项和公式的考查一直是高考中数列考查的重点内容,同时,数列与其他知识的综合问题中考查错位相减、裂项求和也时有出现,是复习中另一个注意方面. 预测2012年高考,错位相减法求和仍是高考重点,同时注意裂项相消法求和.,考 向 预 测,返回目录,1.常见数列的前n项和,(1)等差数列前n项和Sn= , 推导: ;等比数列前n项和 na1, q=1, q1. 推导: .,倒序相加法,乘公比错位相减,Sn =,返回目录,(2)常见数列的前n项和: (1)1+2+3+n= ; (2)2+4+6+2n= ; (3)1+3+5+(2n-1)= ; (4)12+22+32+n2= . (3)常用的数列求和方法 (1)公式法(分组求和法):把一个数列分成几个可以直接求和的数列;,n2+n,n2,返回目录,(2)裂项相消法:有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和; (3)错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和; (4)倒序相加法:例如,等差数列前n项和公式的推导方法. 3.常见的拆项公式 (1) = ;,返回目录,(2) = ; (3) = .,返回目录,根据数列an的通项公式,求其前n项和Sn. (1)an=10n-1;(2)an=n(n+1).,【分析】 若数列为等差数列、等比数列,或能转化为等差、等比数列,或转化为能用其他公式的,用公式法求和.,考点1 公式法求和,返回目录,【解析】(1)Sn=a1+a2+an=(101+102+10n)- n= (2)Sn=a1+a2+an =(12+1)+(22+2)+(n2+n) =(12+22+n2)+(1+2+n) = n(n+1)(n+2).,返回目录,在数列求和中,常用的公式有: (1)等差数列: na1 q=1 q1. (3) 1+2+n= (4) 12+22+n2= n(n+1)(2n+1).,(2)等比数列: Sn=,返回目录,已知数列log2(an-1),nN*为等差数列,且a1=3,a3=9. (1)求数列an的通项公式; (2)证明:,返回目录,(1) 设等差数列log2(an-1)的公差为d. 由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28, 即d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1. (2) 证明:因为 ,,所以,返回目录,2010年高考课标全国卷设数列an满足a1=2,a n+1-an=32 2n-1. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.,【分析】由an与an+1的关系可用累加法求数列通项公式,由an特点选择恰当方法求Sn.,考点2 错位相减法求和,返回目录,【解析】 (1)由已知,当n1时,an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1=3(22n-1+22n-3+2)+2=2 2(n+1)-1. 而a1=2,符合上式,所以数列an的通项公式为an=22n-1. (2)由bn=nan=n22n-1知 Sn=12+223+325+n22n-1, 从而22Sn=123+225+327+n22n+1. -得 (1-22)Sn=2+23+25+22n-1-n22n+1, 即Sn= (3n-1)22n+1+2.,返回目录,(1)一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法. (2)用乘公比错位相减法求和时,应注意: 要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. 利用错位相减法求和时,转化为等比数列求和.若公比是个参数(字母),则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.,返回目录,设数列an的前n项和为Sn=2n2,bn为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1. (1)求数列an和bn的通项公式; (2)设cn= ,求数列cn的前n项和Tn.,返回目录,(1)当n=1时,a1=S1=2; 当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2. 故an的通项公式为an=4n-2, 即an是首项a1=2,公差d=4的等差数列. 设bn的公比为q,则b1qd=b1,d=4,q= . 故bn=b1qn-1=2 , 即bn的通项公式为bn= .,返回目录,(2)cn= =(2n-1)4n-1, Tn=c1+c2+cn=1+341+542+(2n-1)4n-1, 4Tn=14+342+543+(2n-3)4n-1+(2n-1)4n. 两式相减得 3Tn=-1-2(41+42+43+4n-1)+(2n-1)4n = (6n-5)4n+5. Tn= (6n-5)4n+5.,返回目录,【分析】由条件,设首项为a1,公差为d,建立方程组求解a1,d,则an可求,Sn可求,由bn中bn与an关系选择恰当求法.,考点3 裂项相消法求和,2010年高考山东卷已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn. (1)求an及Sn; (2)令bn= (nN*),求数列bn的前n项和Tn.,返回目录,返回目录,(2)由(1)知an=2n+1, 所以bn= 所以Tn= 即数列bn的前n项和Tn=,返回目录,(1)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项等,实际上,裂项法求和时消项的规律具有对称性,即前剩多少项后就剩多少项;前剩第几项,后就剩倒数第几项.再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等. (2)一般情况如下,若an是等差数列,则 此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和. (3)要注意掌握常用的裂项方法和技巧.,返回目录,设数列an的前n项和为Sn,点(n, )(nN*)均在函数y=3x-2的图象上. (1)求数列an的通项公式; (2) ,Tn是数列bn的前n项和,求使得Tn 对所有nN*都成立的最小正整数m.,返回目录,(1)依题意得 =3n-2, 即Sn=3n2-2n. 当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5; 当n=1时,a1=S1=312-21=1=61-5, an=6n-5(nN*).,返回目录,(2)由(1)得bn= 故Tn=b1+b2+bn 因此,使得 (nN*)成立的m必须满足 ,即m10. 故满足要求的最小正整数m为10., ,返回目录,1.数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通项变形,转化为等差或等比或可求前n项和的数列来求之. 2.掌握由通项公式确定求和方法,如积的倒数和用裂项相消法,形如an=nq n-1用错位相减法等.,返回目录,
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