三角形中位线定理的应用 (二),回忆：,三角形的中位线定理：,DEBC,DE= BC,如果DE是ABC的中位线.,那么：,例1.如图，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交与G， 求证：,GE,CE,=,GD,AD,=,1,3,证明：,连结ED,D、E分别是边BC、AB的中点,DEAC,DE,AC,=,2,1,ACGDEG,AC,DE,AG,GD,GC,GE,=,=,=,=,=,2,1,GE,CE,GD,AD,3,1,例1.如图，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交与G， 求证：,GE,CE,=,GD,AD,=,1,3,在这个问题中，AD、CE分别叫做 ABC的,中线,我们已经知道三角形的三条中线交于一点， 这个点叫做三角形的,重心,由这个问题，我们可以归纳出三角形重心的性质,三角形重心的性质,三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的,3,1,即,GD,=,AD,3,1,3,F,AG,=,AD,2,AG= GD,你能再写出几个这样的式子吗？,GD:AG:AD=,1:2:3,2,判断题,F,E,三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一,三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一,1、等边三角形三条高的交点就是它的重心,2、三角形的重心到一边的距离等于这边上 中线长的三分之一,例2.已知：RtACB中，ACB=90，AC=4,BC=3, G是ACB的重心，,求：(1)点G到直角顶点C的距离GC,(2)点G到斜边AB的距离,D,G,B,C,A,解：,AB=,(1),G是重心,CD是中线,例2.已知：RtACB中，ACB=90，AC=4,BC=3, G是ACB的重心，,求：(1)点G到直角顶点C的距离GC,(2)点G到斜边AB的距离,D,G,B,C,A,E,F,解：,作GEAB于点E,(2),则GEFC,CFAB于点F,GDECDF,CF=,GE=,例3.已知:ABC中，AB=AC,ADBC,AD与中线BE 相交于点G，AD=18,GE=5,求BC的长,?,解：,AB=AC,ADBC,DB=DC，,AD是BC边上的中线,BE是中线,G点是重心,GB=2GE=10,GD= AD,=6,BC=2BD=16,如图，ABC的中线AD、BE、CF相交于点O，AB=5, BC=13,AC=12,则DO=,（上届初三期考题）,6,13,变一变：,DE=,DF=,OE=,EDF=,90,1.已知：正方形ABCD中，P为CD的中点，PQAD，求证：PQ= AB,家庭作业,P70 练习1,补充题,且NQ= AB,2.如图，已知M、N是四边形ABCD边AD、BC的中点，P、Q是BD、AC的中点 求证：MN和PQ互相平分,A,B,D,C,Q,M,N,P,证明：,连结PM、PN、NQ、QM,M、P分别是AD、BD中点,MPAB,且MP= AB,同理可证：,NQAB,MPNQ,且MP=NQ,四边形MPNQ是平行四边形,MN和PQ互相平分,3.如图：四边形ABCD中，AC=BD，M、N为AD、BC中点,求证：OE=OF,例1：在四边形ABCD中，ABCD，M、N分别是BC、AD的中点，BA及MN的延长线相交于P，CD及MN的延长线相交于Q，求证：APNDQN,E,例5：已知：如图ABC中，BM,CN是ABC，ACB的平分线，且AMBM于M，ANCN于N， 求证：MNBC,E,F,例2.已知：如图，在ABC中，AB=AC，延长AB 到D，使BD=AB，E为AB的中点 求证：CD=2CE,F,证明：,延长CE到点F，使得EF=CE,连结AF、FB,则CF=2CE，,EF=CE，AE=EB,四边形AFBC是平行四边形,FB=AC,AC=AB，AB=BD,FB=BD,ACFB,FBC+ACB=180,DBC+ABC=180,ABC=ACB,FBC=DBC,BC=BC,FBCDBC,CD=CF,CD=2CE,例2.已知：如图，在ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点 求证：CD=2CE,F,证明：,延长AC到点F，使得CF=AC,连结BF,AE=EB,BF=2CE,AC=CF,AC=AB,AB=BD,CF=BD,DBC+ABC=180,FCB+ACB=180,ABC=ACB,DBC=FCB,BC=BC,FCBDBC,CD=BF,CD=2CE,例2.已知：如图，在ABC中，AB=AC，延长AB 到D，使BD=AB，E为AB的中点 求证：CD=2CE,F,证明：,设CD中点是F,连结BF,AB=BD,AC=2BF,AE=BE,AC=AB=2AE,AE=BF,AC=AB,AB=BD,AC=BD,ACFB,DBF=A,DBFACE,DF=CE,CD=2DF,CD=2CE,例2.已知：如图，在ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E为AB的中点 求证：CD=2CE,F,证明：,设AC中点是F,连结BF,AB=BD,CD=2BF,AC=AB,又E、F分别是AC、AB中点,AE=AF,A=A,ABFACE,BF=CE,CD=2CE,