北京市东城区北京市东城区 2018-20192018-2019 学年高一上学期期末检测学年高一上学期期末检测 数学试题数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，共小题，共 30.030.0 分）分） 1.已知集合，那么下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由，解得 x 范围，可得即可判断出结论 【详解】解：由，解得，或 可得 0，1， 故选：D 【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2.命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可 【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题 p：，则为， 故选：A 【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系的应用，考查基本知识 3.下列结论成立的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 对赋值来排除。 【详解】当，时，A 结论不成立。 当时，B 结论不成立。 当时，C 结论不成立。 故选：D 【点睛】本题主要利用赋值法来排除，也可以利用不等式的性质来判断。 4.在单位圆中，的圆心角所对的弧长为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据弧长公式，代入计算即可 【详解】解：， 故选：B 【点睛】本题主要考查了弧长公式，属于基础题 5.函数的零点所在区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，分析可得函数为减函数，依次计算、的值，由函数零点判定定理分析可得 答案 【详解】解：根据题意，函数，分析易得函数为减函数， 且， ， ， ， 则函数的零点所在区间是； 故选：C 【点睛】本题考查函数的零点判断定理，关键是熟悉函数的零点判定定理 6.，的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简后，根据单调性即可判断 【详解】解：由， ， ，在第一象限为增函数， 故得 故选：D 【点睛】本题考查了诱导公式和正弦函数的单调性的运用，比较基础 7.设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】解：由得， 由得， 得 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】本小题主要考查充要条件的判断.如果，则 是 的充分条件， 是 的必要条件；否则， 不是 的充分条件， 不是 的必要条件.在判断具体问题时，可以采用互推的方法，进行和各一次，判断 是否能被推出，由此判断是什么条件.还可以采用集合的观点来判断：小范围是大范围的充分不必要条件， 大范围是小范围的充要不充分条件.如果两个范围相等，则为充要条件.如果没有包含关系，则为既不充分 也不必要条件. 8.若实数 x，y 满足，则的最大值为 A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据，即可求出最大值 【详解】解：实数 x，y 满足， ， ， 当，时取等号， 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题 9.已知函数的定义域为 R，当时，当时，当时， ，则 A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的解析式可得的值，进而分析可得，分析可得函数为周期为 1 的周 期函数，则，类比奇函数的性质分析可得答案 【详解】解：根据题意，函数的定义域为 R，且当时，则， 当时，即， 即，则函数为周期为 1 的周期函数； 则， 当时，则有， 又由，则； 故选：A 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题形如 ，或的条件，说明的都是函数图像关于对称.形如，或 ，或者的条件，说明的是函数是周期为的周期函数. 10.已知非空集合 A，B 满足以下两个条件 2，3，4，5，； 若，则 则有序集合对的个数为 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】 对集合 A 的元素个数分类讨论，利用条件即可得出 【详解】解：由题意分类讨论可得：若，则3，4，5，；若，则 3，4，5，；若，则3，4，5，；若，则2，4，5，；若，则 2，3，5，；若，则3，4，1，；若，则3，4，5，； 若，则4，5，；若，则3，5，；若，则3，4，； 若，则3，5，；若，则3，4，； 若，则2，4，； 若3，则4， 综上可得：有序集合对的个数为 12 故选：A 【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系、集合运算、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 5 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 11._ 【答案】 【解析】 【分析】 利用诱导公式，将所求三角函数值转化为求的值即可. 【详解】解： 故答案为 【点睛】本题考察了正弦函数诱导公式的应用，准确的选择公式，运用公式是解决本题的关键. 12.函数的定义域为_ 【答案】 【解析】 【分析】 且解不等式即可。 【详解】且，由此解得,故填 【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于 0。 13._ 【答案】2 【解析】 【分析】 进行分数指数幂和对数的运算即可 【详解】解：原式 故答案为：2 【点睛】考查对数的换底公式，分数指数幂和对数的运算 14.已知函数满足下列性质： 定义域为 R，值域为； 在区间上是减函数； 图象关于对称 请写出满足条件的的解析式_ 写出一个即可 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数性质举出一个二次函数即可 【详解】解：满足上述 3 条性质 故答案为： 【点睛】本题考查了函数解析式的求解及常用方法，属基础题 15.已知函数 _ 若方程有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 (1). 4 (2). 【解析】 【分析】 根据分段函数的表达式，直接代入即可 求出当，时，函数的解析式和图象，利用的交点个数进行判断即 可 【详解】解：， 当时， 当时， 当时， ， 作出函数的图象如图， 其中， 设直线， 当分别过，时， 则，得， ，得， 由图象知要使方程有且只有一个实根， 则在 A，B 之间的区域， 即， 即实数 a 的取值范围是， 故答案为：4， 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，作出两个函数的图象，利用数形结合是解 决本题的关键 综合性较强，有一定的难度 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 50.050.0 分）分） 16.已知全集，集合，非空集合 求当时，； 若，求实数 m 的取值范围 【答案】 （）或 （） 【解析】 【分析】 求出集合 A，B 的等价条件，结合并集，补集的定义进行求解即可 根据，建立不等式关系进行求解即可 【详解】解： ， 当时， 则， 或 若，则，得，即， 即实数 m 的取值范围是 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及基本关系的应用，求出集合的等价条件是解决本题的关键 17.已知函数 画出的图象； 根据图象写出的值域、单调区间 【答案】 （）见解析（）的单调递减区间为，无增区间 【解析】 【分析】 根据 x 的范围，将函数表示成分段函数形式即可 结合图象之间写出函数的值域和单调区间 【详解】解： ， 的图象； 由图象知的值域为， 的单调递减区间为，无增区间 【点睛】本题主要考查分段函数的图象和性质，结合绝对值的应用转化为分段函数是解决本题的关键 18.在平面直角坐标系 xOy 中，角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，它的终边过点， 以角 的终边为始边，逆时针旋转 得到角 求的值； 求的值 【答案】 （）（） 【解析】 【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值 先根据题意利用任意角的三角函数的定义求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值， 再利用两角和的余弦公式求得的值 【详解】解： 角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，它的终边过点， 以角 的终边为始边，逆时针旋转 得到角 ， 由 利用任意角的三角函数的定义可得， ， 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，两角和的余弦公式的应用，属于中档题 19.函数的部分图象如图所示 （）求的解析式； （）将函数的图象向左平移 个单位长度，得到函数的图象，令，求函数 的单调递增区间 【答案】 （）；（）. 【解析】 试题分析： （）由函数的最小正周期可得结合最大值可得则的解析式是 （）由题意可得，则.结合正弦函数的性质可得的 单调递增区间为 试题解析： （）因为，所以 又因为，所以，即 因为，令可得 所以的解析式是 （）由已知， 所以 . 函数的单调递增区间为 由， 得， 所以的单调递增区间为 点睛：点睛：已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出， 困难的是求待定系数 和 ，常用如下两种方法： (1)由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横 坐标 x0，则令 x00(或 x0)，即可求出 . (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形 解出 和 ，若对 A， 的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 20.2018 年 10 月 24 日，世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车 在一般情况下，大桥上的车流速度 单位：千米 时 是车流密度 单位：辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到 220 辆 千米时，将造成堵塞， 此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆 千米时，车流速度为 100 千米 时，研究表明：当 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 当时，求函数的表达式； 当车流密度 x 为多大时，车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 时可 以达到最大？并求出最大值 【答案】 （）（）车流密度为 110 辆 千米时，车流量最大，最大值为 6050 辆 时 【解析】 【分析】 利用待定系数法求出当时的函数解析式得出结论； 分段求出函数的最大值即可得出的最大值 【详解】解：当时，设，则， 解得：， 由得 当时，； 当时， 当时，的最大值为 车流密度为 110 辆 千米时，车流量最大，最大值为 6050 辆 时 【点睛】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算与应用，属于中档题 21.已知是定义在上的奇函数，且，当 a，时，有成立 求在区间1 上的最大值； 若对任意的都有，求实数 m 的取值范围 【答案】 （）1（） 【解析】 【分析】 任取，且，由奇函数的定义将进行转化，利用所给的条件判断出 ，可得的单调性，即可得到所求最大值； 根据 的结论和条件，将问题转化为，即对恒成立，设 ，即对恒成立，求 m 的取值范围，需对 m 进行分类讨论，结合一 次函数的单调性，即可得到所求范围 【详解】解： 任取，且，则， 为奇函数， ， 由已知得， ，即 在上单调递增， 可得在上的最大值为； 若对任