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考点14 等比数列 1.(2010辽宁高考文科3)设为等比数列的前n项和,已知,则公比q = ( ) (A)3(B)4(C)5(D)6【命题立意】本题主要考查等比数列的前n项和公式,考查等比数列的通项公式.【思路点拨】两式相减,即可得到相邻两项的关系,进而可求公比q.【规范解答】选B.两式相减可得:,.故选B.2.(2010辽宁高考理科6)设an是由正数组成的等比数列,为其前n项和.已知a2a4=1, ,则( )(A) (B) (C) (D) 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式,等比数列的前n项和公式.【思路点拨】列出关于a1,q 的方程组,解出a1,q,再利用前n项和公式求出.【规范解答】选B.根据题意可得:3.(2010安徽高考理科10)设是任意等比数列,它的前项和,前项和与前项和分别为,则下列等式中恒成立的是( )(A)(B)(C)(D)【命题立意】本题主要考查等比数列的性质,考查考生的观察、分析、推理能力. 【思路点拨】从整体观察,分析与,与的关系,即可得出结论. 【规范解答】选 D.设等比数列的公比为,由题意,所以,故D正确.4.(2010浙江高考理科3)设为等比数列的前项和,则( )(A)11 (B)5 (C) (D)【命题立意】本题主要考查了等比数列的通项公式与前n项和公式.【思路点拨】抓等比数列的基本量可解决本题.【规范解答】选D.设等比数列的公式为,则由得,.5.(2010山东高考理科9)设是等比数列,则“”是数列是递增数列的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】分清条件和结论再进行判断.【规范解答】选C.若已知,则设数列的公比为,因为,所以有,解得且,所以数列是递增数列;反之,若数列是递增数列,则,即,所以是数列是递增数列的充分必要条件.6.(2010北京高考理科2)在等比数列中,公比.若,则m =( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12【命题立意】本题考查等比数列的基础知识. 【思路点拨】利用等比数列的通项公式即可解决. 【规范解答】选C.方法一:由得.又因为,所以.因此.方法二:因为,所以.又因为,所以所以,即.7.(2010山东高考文科7)设是首项大于零的等比数列,则“”是“数列是递增数列”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【命题立意】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】分清条件和结论再进行判断.【规范解答】选C.若已知,则设数列的公比为,因为,所以有,又,解得所以数列是递增数列;反之,若数列是递增数列且,则公比,所以,即,所以是数列是递增数列的充分必要条件.8.(2010广东高考文科4)已知数列为等比数列,是它的前n项和若=2a1,且与2的等差中项为,则S5=( )(A)35 (B)33 (C)31 (D)29【命题立意】本题考查等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前项和公式.【思路点拨】由等比数列的性质及已知条件 得出,由等差数列的性质及已知条件得出,从而求出及.【规范解答】选.由,又 得 .所以, , .故选.9.(2010福建高考理科11)在等比数列 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式= .【命题立意】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式.【思路点拨】由前3项之和等于21求出 ,进而求出通项公式.【规范解答】, 【答案】【方法技巧】另解:,10.(2010 海南宁夏高考理科T17)设数列满足,an+1-an=322n-1. (1)求数列的通项公式. (2)令,求数列的前n项和.【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前项和的求法,解决本题的关键是仔细观察形式,找到规律,利用等比数列的性质解题.【思路点拨】由给出的递推关系,求出数列的通项公式,再求数列的前n项和.【规范解答】(1)由已知,当时,而,满足上述公式,所以的通项公式为.(2)由可知,S 从而 得 即 .【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式,利用错位相减法求数列的和.11.(2010陕西高考理科6)已知是公差不为零的等差数列,且成等比数列.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前n项和.【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的通项公式和前项和公式的应用,考查考生的运算求解能力【思路点拨】已知关于d的方程d【规范解答】,【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解.2数列求通项的常见类型与方法:公式法、由递推公式求通项,由求通项,累加法、累乘法等.3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等.4解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略12.(2010北京高考文科6)已知为等差数列,且,.(1)求的通项公式.(2)若等比数列满足,求的前n项和公式.【命题立意】本题考查等差数列的通项公式,等比数列的前n项和,熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键.【思路点拨】(1)由a3,a6可列方程解出,从而可求出通项公式;(2)求出,再求出公比q.代入等比数列的前n项和公式即可.【规范解答】(1)设等差数列的公差.因为, 所以解得,所以. (2)设等比数列的公比为, 因为 所以,即=3.所以的前项和公式为.13.(2010福建高考文科7)数列 中1,前n项和满足-(n). (1)求数列的通项公式以及前n项和. (2)若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数t的值.【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归转化思想. 【思路点拨】第一步先求的通项,可知为等比数列,利用等比数列的前n项和求解出;第二步利用等差中项列出方程求出t.【规范解答】 ( 1 ) 由得,又,故,从而.(2)由( 1 ) 从而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列可得解得.【方法技巧】要求数列通项公式,由题目提供的是一个递推公式,如何通过递推公式来求数列的通项.题目要求的是项的问题,这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题.一般地,含有的递推关系式,常利用化“和”为“项”.14.(2010湖南高考文科20)给出下面的数表序列:其中表n(n=1,2,3 )有n行,第1行的n个数是1,3,5,2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.(1)写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n3)(不要求证明).(2)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,记此数列为 求和:【命题立意】以数列为背景考查学生的观察、归纳和总结的能力.【思路点拨】在第(2)问中首先应得到数列的通项公式,再根据通项公式决定求和的方法.【规范解答】 (1) 表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的平均数分别是4,8,16, 32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n(n3),即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.简证如下(对考生不作要求):首先,表n(n3)各行中的第一行,1,3,5,2n-1是等差数列,其平均数为;其次,若表n的第k(1kn-1)行a1 ,a2 ,an-k+1 是等差数列,则它的第k+1行a1+a2,a2+a3,an-k+an-k+1,也是等差数列.由等差数列的性质知,表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是由此可知,表n(n3)各行中的数都成等差数列,且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.(2)表n的第一行是1,3,5,2n-1,其平均数是由(1)知,它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列,于是,表n中最后一行的唯一一个数为bn=n2n-1.因此,故.【方法技巧】研究数列要抓住变化规律.15.(2010天津高考理科22)在数列中,且对任意.,成等差数列,其公差为.(1)若=,证明,成等比数列().(2)若对任意,成等比数列,其公比为.设q11,证明是等差数列;若a2=2,证明【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.【思路点拨】利用等差、等比数列的定义证明.【规范解答】(1)由题设,可得.所以=2k(k+1),由=0,得于是.所以成等比数列.(2)方法一:由成等差数列,及成等比数列,得,当1时,可知1,k所以是等差数列,公差为1.,可得,从而=1.由有所以因此,以下分两种情况进行讨论:(i)当n为偶数时,设n=2m()若m=1,则.若m2,则+所以(ii)当n为奇数时,设n=2m+1()所以从而综合(i)(ii)可知,对任意,有.方法二:由题设,可得所以由可知.可得,所以是等差数列,公差为1.因为所以.所以,从而,.于是,由(1)可知是公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式可得= ,故.从而.所以由,可得.于是,由(1)可知以下同方法一.16.(2010湖南高考理科21)数列中,是函数的极小值点.(1)当a=0时,求通项. (2)是否存在a,使数列是等比数列?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.【命题立意】以三次函数为载体引出数列再考查数列,考查分类讨论思想.【思路点拨】由一元三次函数极小值的求法,引出数列,进一步研究数列. 【规范解答】(1)易知令若3ann2,则 当x0, fn(x)单调递增;当3anxn2时,fn(x)n2时,fn(x)0, fn(x)单调递增.故fn(x)在x=n2取得极小值.若3ann2,仿可得,fn(x)
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