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考点42 抛物线一、选择题1.(2012山东高考文科11)已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为( )(A) (B)(C)(D)【解题指南】本题关键利用离心率求出渐近线方程,而抛物线焦点到两条渐近线的距离相等,再利用点到直线的距离公式求出p.【解析】选D.因为双曲线:的离心率为2,所以,所以c=2a,所以,双曲线的渐近线为,即.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为:所以p=8, 所以抛物线的方程为.二、填空题2.(2012陕西高考文科14)与(2012陕西高考理科13)相同如图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】建立适当的坐标系,如图所示,设抛物线方程为(),则点(2,-2)在此抛物线上 代入可求出抛物线的方程是,当时,所以,水面宽是米.【答案】3.(2012北京高考理科12)在直角坐标系xOy中.直线过抛物线=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A,B两点.其中点A在x轴上方.若直线的倾斜角为60.则OAF的面积为 . 【解题指南】写出直线的方程,再与抛物线方程联立,解出A点坐标,再求面积.【解析】抛物线的焦点,直线.由解得,.所以.【答案】4.(2012天津高考文科11)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则.【解题指南】根据双曲线的几何性质列式求解.【解析】由题意可得,解得.【答案】1 2三、解答题5.(2012江西高考理科20)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.(1) 求曲线C的方程.(2)动点Q(x0,y0)(-2x02)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为.问:是否存在定点P(0,t)(t0),使得与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且QAB与PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.【解题指南】(1)将各点坐标代入.,化简整理即得曲线C的方程;(2)根据题目中的已知条件用t表示出,探求当之比为常数时,所满足的等式条件,根据条件建立方程或方程组,求得的值.【解析】(1)由,由已知得,化简得曲线C的方程:.(2)假设存在点满足条件,则直线PA的方程是的方程是曲线C在Q处的切线的方程是它与y轴的交点为.由于,因此. 当时,存在,使得, 当时,所以与直线PA,PB一定相交,分别联立方程组解得D,E的横坐标分别是,则又,有,又,于是.对任意,要使为常数,即只需满足解得此时,故存在,使得与的面积之比是常数2.6.(2012新课标全国高考理科T20)设抛物线的焦点为,准线为,A为C上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于两点;(1)若,的面积为,求的值及圆的方程.(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值.【解题指南】(1)由BFD=90及抛物线的对称性可推知为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质表示出的面积,建立等式关系求得p的值,然后由圆心和半径写出圆的方程;(2)由“A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行”这一条件求出直线的斜率,设出直线n的方程,与抛物线方程联立,利用两者只有一个公共点(),可求得直线的方程(方程中含有p),然后根据距离公式求出坐标原点到m,n距离的比值.【解析】(1)由对称性知:是等腰直角三角形,斜边, 点到准线的距离 所以, 圆的方程为.(2)因为A、B、F三点在同一直线上,所以AB为圆F的直径,.由抛物线定义知 , 所以,的斜率为或. 当的斜率为时,由已知可设,代入得 由于n与C只有一个公共点,故,解得.因为m的截距,所以坐标原点到距离的比值为3.当m的斜率为时,由图形对称性可知,坐标原点到,距离的比值为3.7.(2012新课标全国高考文科20)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交于B,D两点.(1)若BFD=90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程.(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.【解题指南】(1)由BFD=90及抛物线的对称性可推知为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质表示出ABD的面积,建立等式关系求得p的值,然后由圆心和半径写出圆的方程.(2)由“A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行”这一条件求出直线的斜率,设出直线n的方程,与抛物线方程联立,利用两者只有一个公共点(),可求得直线的方程(方程中含有p),然后利用距离公式求出坐标原点到m,n距离的比值. 【解析】(1)由对称性知:是等腰直角三角形,斜边, 点到准线的距离, 所以, 圆的方程为.(2)因为A,B,F三点在同一直线上,所以AB为圆F的直径,.由抛物线定义知 , 所以,的斜率为或. 当的斜率为时,由已知可设,代入得 由于n与C只有一个公共点,故.解得.因为m的截距,所以坐标原点到距离的比值为3.当m的斜率为时,由图形对称性可知,坐标原点到,距离的比值为3. 综上可得坐标原点到m,n距离的比值为3.
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