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“三角”专题辅导讲座【概括】三角部分的最大特点就是“三多”,即:公式多;变化多;要记忆的内容多。所以,抓住核心内容,了解知识间的内在联系,掌握各种基本题型的解题思路,科学记忆,是学好这部分的基本要求和关键所在。 一、任意角的三角函数(一) 任意角的三角函数的定义:这是“任意角的三角函数”的核心内容,后面的三角函数值的符号、特殊角的三角函数值、诱导公式、同角三角函数的基本关系式等内容,都是在定义的基础上推导出来的。【标准定义】: 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 角的正弦sin= y , 角的余弦cos= x , 角的正tan= . 【范例】(1). 下列各式正确的是( )A. B. C. D.【解析】,所以,,故否定C,D.在单位圆中由定义作出三角函数线,由可知,应选B。(2)(2008江苏) 如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边做两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A,B 的横坐标分别为()求tan()的值; ()求的值【解析】由三角函数的定义可知,又,为锐角,所以= 因此()tan()= () ,所以为锐角,=【一般定义】:设是一个任意角,点P(x,y)是角终边上的任意一点,|OP|=r(r0),则角的正弦sin= ,角的余弦cos= , 角的正切tan= . 【范例】 (1). (2014全国大纲文)已知角的终边经过点,则( )A B C D(2).(2011全国新课标文、理)已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则= ( )(A) (B) (C) (D) 【解析】:由题知,选B【重要题型】.已知一个角的正切值,求这个角的正弦(或余弦)值: 例如(1).(2010全国卷文)已知是第二象限的角,= .解法一:列出方程组解出的值,运算量大,易出错。解法二:根据已知条件及三角函数的定义,角的终边必定经过点(-2,1),所以。(2)(2013全国新课标理)设为第二象限角,若tan,则sin cos _.【解析】由tan=,易得tan ,与上题类似,用定义法很容易求得 sin ,cos . sin cos . 【概括】 知“切”求“弦”,一般都用“定义法”。(二)三角函数值的符号:按象限记忆(口诀):一全正,二正弦,三正切,四余弦.按函数记忆(口诀):正弦上为正,余弦右为正,正切一三正。(三).特殊角的三角函数值:(1)0o,90o,180o,270o,360o的三角函数值结合三角函数的符号法则来记忆。(2)30o,45o,60o的三角函数值利用三角尺结合锐角三角函数的定义来记忆。口诀记忆:一二三,三二一,三九二十七。如若有可能,请尽量记住以下这些特殊值:, , (四)同角三角函数的基本关系式: =1,. 常见题型及解题技巧: 1.已知一个角的正弦(或余弦)值,求这个角的其他三角函数值:例如.(2015福建文)若,且为第四象限角,则的值等于( )A B C D 【解析】由,且为第四象限角,则,则,故选D你就是不会做也不应该选A,C,为什么?【概括】这类题比较简单,只需熟练运用平方关系变形式(或)并注意根据角的范围确定所求式子的符号即可。要熟记几组常用的勾股数:,.2.已知一个角的正切值,求这个角的正弦和余弦的一个“齐次式”的值: 例如(1). (2009陕西文)若,则的值为高.考.资.源.网 ( )(A)0 (B) (C)1 (D) 高.考.资.源.网【解析】: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以得, 原式=,故选B. (2)、(2015四川文)已知,则的值是_.(3)(2015广东文)已知求的值; 求的值3.已知一个正弦和余弦的和或差的式子的值,一般先平方: 例如(1)(2013浙江理) 已知,则 ( )(A) (B) (C) (D)【解析】 由(sin +2cos )2=得=,即整理,得3tan28tan3=0,解得tan=3或tan=,于是tan2= .(2).(2012全国大纲卷理)已知为第二象限角,则cos2= ( )(A) (B) (C) (D)【解析】因为所以两边平方得,所以,因为已知为第二象限角,所以,又,所以=,选A.【另解】按照上题的思路,先求出的值再代入cos2=,运算较繁琐。(五). 三角函数的诱导公式:用的三角函数表示形如(包括2k, ,)角的三角函数的公式. 可以把上表填一下,熟练公式。但是千万不要去一组一组的死记硬背这些诱导公式。只要正确运用“纵变横不变,符号看象限”这十个口诀,再复杂的题目都可直接一步到位。 例如:(1)化简:的结果为_.【解析】原式= 其中 , (2). (2009全国文) 的值为( )(A) (B) (C) (D) 【解析】,故选择A。(3). 若, ,则sin(-) 答案. 二、三角函数的图像与性质【知识要点回顾】熟记图像,看着图像能够说出性质即可。1.正弦函数,的图像与性质: 2.余弦函数,的图像: 3.正切曲线:正切函数是周期为的奇函数,它的定义域为_,值域是_;它的单调递增区间是_.【主要题型及解题策略】(一).比较三角函数值的大小:例如(2009重庆文)下列关系式中正确的是( )A B C D 【解析】因为,由于正弦函数在区间上为递增函数,因此,即。 【概括】 比较大小,要尽量化到同一个单调区间上的同名函数值来比较。(二).解三角不等式-图解法:例(1). (2002年广东、全国文、理)在内,使成立的的取值范围是( )(A) (B) (C)(D)(2)写出使下列不等式成立的x的取值集合:1) 2) 3) 1) 2) 3)【概括】先要选择最为恰当的一个周期求解,再把所求区间的两端都加上基本周期,不要忘记写。(三)三角函数图像的变换: 牢记函数图像平移规律:左加右减,上加下减,简记为“左右、上下、加减”, 要注意先平移后伸缩和先伸缩后平移的不同之处。例如:(2015山东文、理)要得到函数的图象,只需要将函数的图象( )(A)向左平移个单位(B)向右平移个单位(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位 (四)已知函数的图像,写出其解析表达式:【范例】(2013四川文、理) 函数f(x)2sin(x)(0,0, -)的图像如图所示,则=_ .【解析】由得T=, ,令(为什么呢?) 解得,(五)求函数单调区间:例如:求函数的单调递增区间(这是我们年级上次的月考题)【解法一】这是一个复合函数,必修一上有关复合函数的单调性,我们曾经提到过“同增异减”。因为内函数是减函数,所以要求函数f(x)的单调递增区间,实际上是求函数的单调递减区间,于是令即,解得【解法二】当自变量系数为负数时,一般先用诱导公式将其化为正数,然后再求解,这样可以减少失误。因为,所以就是要求的递减区间令,解得(六)求函数在给定区间上的最大值或最小值: 例题:求函数在区间上的最大值和最小值。【解析】,所以,f(x)在区间上的最大值是,最小值是-1。(七)作出函数在给定区间上的图像:注意画出函数在“一个周期内的图像”与“一个给定区间内的图像”有何异同。例如:画出函数在区间上的图像。要描六个点,特别注意要包含端点例如:画出函数在一个周期内的图像。要描五个点,特别注意如何确定x的值x0y01010三、三角恒等变换(一)熟记有关公式,搞清内在联系,熟悉常见变形:1.熟记和角公式: 2.在和角公式中,以 -代替,即得差角公式(1)sin(+)= sincos+cossin; (4)sin(-)= sincos-cossin; (2)cos(+)= coscos-sinsin; (5)cos(-)= coscos+sinsin; (3) (6) 从角的排列顺序、函数名称、运算符号几个方面认真分析、对比,抓住公式特点正确记忆。 角的顺序为在前在后;正弦为异名之积,余弦为同名之积;正弦前后符号相同,余弦前后符号相反。3. 倍角公式:在和角公式中,令=,既得二倍角公式(7)sin2=2 sincos; (8) (9)4.二倍角的余弦公式还有另外的表达形式:(10) (11)于是,得到: 升幂公式:1+cos2= , 1-cos2= ;降幂公式: sin2= , cos2= ;5. 合一变换: =(二)掌握几个重要题型,搞清楚解题思路:1.已知角的计算问题:例如(1).(2015全国新课标卷理)sin20cos10-con160sin10=( ) (A) (B) (C) (D)【解析】法一:原式=sin20cos10+ cos20sin10=sin30=,故选D.法二:原式=cos70cos10+sin70sin10=cos60=,故选D.【说明】:逆用公式,是求值题中一种常见的类型,先根据题目的特点确定要用哪个公式,再对照公式逐项化为所需要的形式。(2).(2008海南、宁夏理)=( )
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