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第15讲点、直线、平面之间的位置关系 江苏高考立体几何部分在正常情况下考两题一道填空题,常考空间的线、面位置关系的辨析与判定或特殊几何体的体积、表面积等,要求考生对公式、公理、定理、性质、定义等非常熟悉并能借助已有的几何体中的线与面来解决问题;一道大题,常考线面的平行、垂直,面面的平行与垂直,偶尔也求确定几何体的体积,通过线段长度、线段长度比,点的位置确定等来探索几何体中的线线、线面、面面的位置关系,要重视,要学会规范答题1. 下列命题中,不是公理的是_(填序号) 平行于同一个平面的两个平面相互平行 过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案:2. a、b、c为三条不重合的直线,、为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出以下命题:ab;a;.其中真命题是_(填序号)答案:3. 给定下列四个命题: 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; 垂直于同一直线的两条直线相互平行; 若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中正确的个数有_个. 答案:2解析:其中正确4. 已知四边形ABCD为梯形,ABCD,l为空间一直线,则“l垂直于两腰AD、BC”是“l垂直于两底AB、DC”的_(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件答案:充分不必要题型一 线面平行与面面垂直的证明例1 如图,在三棱锥PABC中,点E、F分别是棱PC、AC的中点(1) 求证:PA平面BEF;(2) 若平面PAB平面ABC,PBBC,求证:BCPA.证明:(1) 在PAC中,E、F分别是PC、AC的中点,所以PAEF.又PA平面BEF,EF平面BEF,所以PA平面BEF.(2) 在平面PAB内过点P作PDAB,垂足为D.因为平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABCAB,PD平面PAB,所以PD平面ABC.又BC平面ABC,所以PDBC.又PBBC,PDPBP,PD平面PAB,PB平面PAB.所以BC平面PAB.又PA平面PAB,所以BCPA.如图的几何体中,AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,ADDE2AB2,F为CD的中点求证:(1) AF平面BCE;(2) 平面BCE平面CDE.证明:(1) 取CE的中点G,连结FG、BG. F为CD的中点, GFDE且GFDE. AB平面ACD,DE平面ACD, ABDE, GFAB.又ABDE, GFAB. 四边形GFAB为平行四边形,则AFBG. AF平面BCE,BG平面BCE, AF平面BCE.(2) ACD为等边三角形,F为CD的中点, AFCD. DE平面ACD,AF平面ACD, DEAF. BGAF, BGDE,BGCD.又CDDED, BG平面CDE. BG平面BCE, 平面BCE平面CDE.题型二 点共面与线面垂直的证明例2 如图,已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AEFC11.(1) 求证:E、B、F、D1四点共面;(2) 若点G在BC上,BG,点M在BB1上,GMBF,垂足为H,求证:EM平面BCC1B1.证明:(1) 在DD1上取点N,使DN1,连结EN,CN,则AEDN1,CFND12.因为AEDN,ND1CF,所以四边形ADNE,CFD1N都为平行四边形从而EN =AD,FD1CN.又因为AD=BC,所以EN=BC,故四边形BCNE是平行四边形,由此推知CNBE,从而FD1BE.因此,E、B、F、D1四点共面(2) 因为GMBF,又BMBC,所以BGMCFB,BMBGtanBGMBGtanCFBBG1.因为AE=BM,所以ABME为平行四边形,从而ABEM.又AB平面BCC1B1,所以EM平面BCC1B1. 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,A1AAC,D、E、F分别为线段AC、A1A、C1B的中点求证:(1) EF平面ABC;(2) C1E平面BDE.证明:(1) 如图,取BC的中点G,连结AG,FG.因为F为C1B的中点,所以FGC1C,FGC1C.在三棱柱ABCA1B1C1中,A1AC1C,A1AC1C且E为A1A的中点,所以FGEA,且FGEA,所以四边形AEFG是平行四边形所以EFAG.因为EF平面ABC,AG平面ABC,所以EF平面ABC.(2) 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A平面ABC,BD平面ABC,所以A1ABD.因为D为AC的中点,BABC,所以BDAC.因为A1AACA,A1A平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,所以BD平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BDC1E.根据题意,可得EBC1EAB,C1BAB,所以EB2C1E2C1B2.从而C1EB90,即C1EEB.因为BDEBB,BD平面BDE,EB平面BDE,所以C1E平面BDE.题型三 直线的平行与垂直证明例3 如图,在六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1CC1,A1BA1D,ABAD.求证:(1) AA1BD;(2) BB1DD1.证明:(1)取线段BD的中点M,连结AM、A1M.因为A1DA1B,ADAB,所以BDAM,BDA1M.又AMA1MM,AM、A1M平面A1AM,所以BD平面A1AM.而AA1平面A1AM,所以AA1BD.(2) 因为AA1CC1,AA1平面D1DCC1,CC1平面D1DCC1,所以AA1平面D1DCC1.又AA1平面A1ADD1,平面A1ADD1平面D1DCC1DD1,所以AA1DD1.同理得AA1BB1,故BB1DD1.点评:本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力. 题型四 立体几何中的探索性问题例4 如图四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,BAD60,AD1,侧面PAD是正三角形,且与底面垂直,Q是AD的中点(1) 求四棱锥PABCD的体积;(2) M在线段PC上,PMtPC,线段BC上是否存在一点R,使得当t(0,1)时,总有BQ平面MDR?若存在,确定R点位置;若不存在,说明理由解:(1) 连结PQ,则PQAD.由题意得PQ,SABCD. 平面PAD平面ABCD且交线为AD,PQAD,PQ平面PAD, PQ平面ABCD, VPABCDPQSABCD.(2) 存在,R为BC的中点取R为BC的中点,连结MR,DR,DM,则BQDR. BQ平面DMR,DR平面DMR, BQ平面DMR.因此,R为BC的中点,当t(0,1)时,总有BQ平面MDR,反之也成立1. 设l是直线,、是两个不同的平面,则下列结论正确的是_(填序号) 若l,l,则; 若l,l,则; 若,l,则l; 若, l,则l.答案:解析:本题考查的是平面几何的基本知识,具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质利用排除法可得是正确的,因为l,l,则.如:l,l时,则或;:若,l,则l或l;:若,l,则l或l.2. (2014辽宁卷)已知m、n表示两条不同直线,表示平面下列说法正确的是_(填序号) 若m,n,则mn; 若m,n,则mn; 若m,mn,则n; 若m,mn,则n.答案:3. (2013全国卷)已知m、n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则下列命题中正确的有_(填序号) ,且l; ,且l; 与相交,且交线垂直于l; 与相交,且交线平行于l.答案:4. (2013广东卷)设l为直线,、是两个不同的平面,则下列命题正确的是_(填序号) 若l,l,则; 若l,l,则; 若l,l,则; 若,l,则l.答案:5. (2013山东卷)如图,四棱锥PABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB2CD,E、F、G、M、N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点求证:(1) CE平面PAD;(2) 平面EFG平面EMN.证明:(1) 四棱锥PABCD中,ABCD,AB2CD,E、F、G、M、N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点,取PA的中点H,则由HEAB,HEAB,而且CDAB,CDAB,可得HE和CD平行且相等,故四边形CDHE为平行四边形,故CEDH.由于DH在平面PAD内,而CE不在平面PAD内,故有CE平面PAD.(2) 由于ABAC,ABPA,而PAACA,可得AB平面PAC.再由ABCD可得,CD平面PAC.由于MN是PCD的中位线,故有MNCD,故MN平面PAC.由于EF为PAB的中位线,可得EFPA,而PA在平面PAC内,而EF不在平面PAC内,故有EF平面PAC.同理可得,FG平面PAC.而EF和FG是平面EFG内的两条相交直线,故有平面EFG平面PAC. MN平面EFG,而MN在平面EMN内,故有平面EFG平面EMN.6. (2013江苏卷)如图,在三棱锥SABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,ASAB,过A作AFSB,垂足为F,点E、G分别是棱SA、SC的中点求证:(1) 平面EFG平面ABC;(2) BCSA.证明:(1) ASAB,AFSB, F是SB的中点 E、F分别是SA、SB的中点, EFAB.又 EF平面ABC,AB平面ABC, EF平面ABC.同理FG平面ABC.又 EFFGF,EF、FG平面ABC, 平面EFG平面ABC.(2) 平面SAB平面SBC,平面SAB平面SBCSB,AF平面SAB,AFSB, AF平面SBC.又 BC平面SBC, AFBC.又 ABBC,ABAFA,AB、AF平面SAB, BC平面SAB.又 SA平面SAB, BCS
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