函数的奇偶性,y =x2,-x,x,当x1=1, x2= -1时，f(-1) = f(1),当x1=2, x2=-2时，f(-2)= f(2),对任意x，f(-x)=f(x),当x1=1, x2= -1时，f(-1)= -f(1),对任意x， f(-x)= -f(x),-x,x,偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。,奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x ,都有f(-x）= -f(x)。那么f(x)就叫奇函数。,例1、判断下列函数的奇偶性,（2）,解：(1) 因为f(-x)=2x= -f(x) ,所 以f(x)是奇函数。 (2) 因为f(x)的定义域为，,是偶函数。,(1),（4）,（3）,故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。,解：（3）,（4）,故函数没有奇偶性。,首要条件：,定义域是否关于原点对称,思考：,在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数的。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？,f(x)=0,是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢？,例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数。求证：f(x)=0,证明：因为 f(x) 既是奇函数又是偶函数 所以 f(-x)=f(x),且f(-x)= -f(x) 所以 f(x)= -f(x) 所以 2f(x)=0 即 f(x)=0.,这样的函数有有多少个呢？,函数按是否有奇偶性可分为四类：,(1)奇函数; (2)偶函数; (3)既是奇函数又是偶函数; (4)既不是奇函数又不是偶函数.,例3、判断下列函数的奇偶性,（1）解： 当b=0时， f(x)为奇函数，当b 0时，f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数。,2、解：当a=0时，f(x) 既是奇函数又是偶函数，当a 0时，f(x)是偶函数。,例4、已知函数f(x)为奇函数，定义域 为R,且X0时，f(x)= 求函数f(x)的解析式。,小结：,奇偶性的概念 判断奇偶性时要注意的问题,作业：,判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)=3x (3) f(x)=6x2 (4) f(x)=6x3-1 (5) f(x)=2x+2a (6) f(x)=0 (-2x2),3.具有奇偶性的函数图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称,1.定义式:,2.等价形式:,判断方法:,4.性质法:偶与偶的和差积商仍为偶;奇与奇的 和差为奇,积商为偶;奇与偶的积商为奇.,1.非零常数函数,为偶函数;,为既奇又偶函数(唯一型). 2.奇函数若f(x)在x=0处有定义,则必有f(0)=0. 3.若函数f(x)为偶函数,则必有,结论:,