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河北省衡水中学高三上学期第四次联考【试卷综析】本试卷是高三文科试卷,以基础知识为载体,以基本能力测试为主导,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查:集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、三角函数,数列,概率,立体几何等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份比较好的试卷.一、 选择题( 本大题共1 2个小题, 每小题5分, 共6 0分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 )【题文】1设集合 M= x | x 2+3 x+2-1 C x | x-1 D x | x -2【知识点】集合及其运算A1【答案】A【解析】集合M=x|x2+3x+20=x|-2x-1,集合N=x|()x4=x|2-x22=x|-x2=x|x-2,MN=x|x-2,【思路点拨】根据题意先求出集合M和集合N,再求MN【题文】2若x( e1, 1) , a= l n x, b=2 l n x, c= l n 3x, 则 ( )Aabc Bcab Cbac Dbca【知识点】对数与对数函数B7【答案】C【解析】因为a=lnx在(0,+)上单调递增,故当x(e-1,1)时,a(-1,0),于是b-a=2lnx-lnx=lnx0,从而ba又a-c=lnx-ln3x=a(1+a)(1-a)0,从而ac综上所述,bac【思路点拨】根据函数的单调性,求a的范围,用比较法,比较a、b和a、c的大小【题文】3抛物线y=4 x 2 关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是 ( )Ay=-1 By=-1Cx=-1 Dx=-1【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】D【解析】抛物线,准线y=-,关于x=y对称的直线x=-为所求。【思路点拨】先求出的准线方程,再根据对称性求出。【题文】4右图是一个几何体的正( 主) 视图和侧( 左) 视图, 其俯视图是面积为8的矩形, 则该几何体的表面积是 ( )A2 0+8 B2 4+8 C8 D16【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】A【解析】此几何体是一个三棱柱,且其高为,由于其底面是一个等腰直角三角形,直角边长为2,所以其面积为22=2,又此三棱柱的高为4,故其侧面积为,(2+2+2)4=16+8,表面积为:22+16+8=20+8【思路点拨】由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱柱,底面是等腰直角三角形,且其高为,故先求出底面积,求解其表面积即可【题文】5若函数同时具有以下两个性质: 是偶函数; 对任意实数x, 都有 。则的解析式可以是 ( )A =cos x B = C = D =cos 6 x【知识点】函数的奇偶性B4【答案】C【解析】由题意可得,函数f(x)是偶函数,且它的图象关于直线x=对称f(x)=cosx是偶函数,当x=时,函数f(x)=,不是最值,故不满足图象关于直线x= 对称,故排除A函数f(x)=cos(2x+)=-sin2x,是奇函数,不满足条件,故排除B函数f(x)=sin(4x+)=cos4x是偶函数,当x=时,函数f(x)=-4,是最大值,故满足图象关于直线x=对称,故C满足条件函数f(x)=cos6x是偶函数,当x=时,函数f(x)=0,不是最值,故不满足图象关于直线x=对称,故排除D,【思路点拨】先判断三角函数的奇偶性,再考查三角函数的图象的对称性,从而得出结论【题文】6已知命题px0R, e xm x=0, qxR, x 2+m x+10, 若p(q) 为假命题,则实数 m 的取值范围是 ( )A(-, 0) ( 2, +) B 0, 2CR D【知识点】导数的应用B12【答案】B【解析】若p(q)为假命题,则p,q都为假命题,即p是假命题,q是真命题,由ex-mx=0得m=,设f(x)= ,则f(x)= =,当x1时,f(x)0,此时函数单调递增,当0x1时,f(x)0,此时函数单调递递减,当x0时,f(x)0,此时函数单调递递减,当x=1时,f(x)= 取得极小值f(1)=e,函数f(x)= 的值域为(-,0)e,+),若p是假命题,则0me;若q是真命题,则由x2+mx+10,则=m2-40,解得-2m2,综上,解得0m2【思路点拨】根据复合函数的真假关系,确定命题p,q的真假,利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论【题文】7若实数x、 y满足不等式组 则z=| x |+2 y的最大值是 ( )A1 0 B1 1 C1 3 D1 4【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】D【解析】当x时,2y=-x+z表示的是斜率为-1截距为z的平行直线系,当过点(1,5)时,截距最大,此时z最大,=1+2=11,当x0且sinx0,故0,所以函数在上单调递增取x= ,得f()=0可得函数在区间(0,)有唯一零点(2) 当x 时,且cos,故函数在区间上恒为正值,没有零点综上所述,函数在区间上有唯一零点。【思路点拨】根据余弦函数的最导致为1,可知函数在上为正值,在此区间上函数没有零点,问题转化为讨论函数在区间上的零点的求解,利用导数讨论单调性即可。【题文】11与向量的夹角相等, 且模为1的向量是 ( )A B或CD 或【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案】B【解析】设与向量的夹角相等, 且模为1的向量为(x,y),则解得或,【思路点拨】要求的向量与一对模相等的向量夹角相等,所以根据夹角相等列出等式,而已知的向量模是相等的,所以只要向量的数量积相等即可再根据模长为1,列出方程,解出坐标【题文】12在平面直角坐标系x O y中, 圆C 的方程为x2+y2-8 x+1 5=0, 若直线y=k x+2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径为1的圆与圆C 有公共点, 则k的最小值是 ( )A B C D【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系H4【答案】A【解析】圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得:(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,只需圆C:(x-4)2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可设圆心C(4,0)到直线y=kx+2的距离为d,则d=2,即3k2-4k,-k0k的最小值是【思路点拨】化圆C的方程为(x-4)2+y2=1,求出圆心与半径,由题意,只需(x-4)2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可【题文】第卷(非选择题,共9 0分)二、 填空题( 本大题共4个小题, 每小题5分, 共2 0分, 请把正确的答案填写在各小题的横线上。 )【题文】13 已知则的值为 。【知识点】对数与对数函数B7【答案】36【解析】由于,所以f(9-x)=9-=9-x-于是有f(x)+f(9-x)=9从而f(1)+f(8)=f(2)+f(7)=f(3)+f(6)=f(4)+f(5)=9,故原式的值为【思路点拨】根据函数的性质找出规律求出结果。【题文】14.已知底面边长为 , 各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-A B C 的四个顶点都在同一球面上, 则此球的表面积为 。【知识点】单元综合G12【答案】3【解析】由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球,此正方体的面对角线为,边长为1正方体的体对角线是故外接球的直径是,半径是故其表面积是4()2=3【思路点拨】底面边长为,各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角,故此正三棱锥的外接求即此正方体的外接球,由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径,表面积易求【题文】15若在区间 0, 1 上存在实数x使2x(3 x+a)1成立, 则a的取值范围是 。【知识点】函数的单调性与最值B3【答案】(-,1)【解析】2x(3x+a)1可化为a2-x-3x,则在区间0,1上存在实数x使2x(3x+a)1成立,等价于a(2-x-3x)max,而2-x-3x在0,1上单调递减,2-x-3x的最大值为20-0=1,a1,故a的取值范围是(-,1).【思路点拨】2x(3x+a)1可化为a2-x-3x,则在区间0,1上存在实数x使2x(3x+a)1成立,等价于a(2-x-3x)max,利用函数的单调性可求最值【题文】16已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、 右焦点分别为F1、 F2, 这两条曲线在第一象限的交点为P, P F1F2 是以P F1 为底边的等腰三角形。若| P F1|=1 0, 椭圆与双曲线的离心率分别为e1、 e2, 则e1e2 的取值范围为 。【知识点】单元综合H10【答案】【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为c,PF1=r1,PF2=r2由题意知r1=10,r2=2c,且r1r2,2r2r1,2c10,2c+2c10,14,e2= ;e1=
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