13函数的单调性与最值一、填空题1函数f(x)log2(x24x5)的单调增区间为_解析 由题意知x24x50，解得x5，即函数f(x)log2(x24x5)的定义域为(，1)(5，)，根据外层函数为单调增函数，而内层函数ux24x5(x2)29在(5，)上单调递增，所以所求函数的单调增区间为(5，). 答案 (5，)2下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是_(填所有正确的编号)yx1；y；yx24x5；y.解析yx1在R上递减；y在R上递增；yx24x5在(，2上递减，在2，)上递增，y在R上递减答案3定义在R的奇函数f(x)单调递增，且对任意实数a，b满足f(a)f(b1)0，则ab_.解析f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(a)f(b1)f(1b)又f(x)单调递增a1b即ab1.答案14若函数f(x)x2(a24a1)x2在区间(，1上是减函数，则a的取值范围是_解析因为f(x)是二次函数且开口向上，所以要使f(x)在(，1上是单调递减函数，则必有1，即a24a30，解得1a3.答案1,35下列函数：yx3；y|x|1；yx21；y2|x|，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数序号是_解析yx3是奇函数，yx21与y2|x|在(0，)上是减函数答案6已知f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f(x)在(1,1)上是减函数，不等式f(1x)f(1x2)0的解集为_解析由f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，及f(1x)f(1x2)0得f(1x)f(1x2)所以f(1x)f(x21)又因为f(x)在(1,1)上是减函数，所以故原不等式的解集为(0,1)答案(0,1)7已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，yf(x)是减函数，若|x1|x2|，则结论：f(x1)f(x2)0；f(x1)f(x2)0；f(x1)f(x2)0；f(x1)f(x2)0中成立的是_(填所有正确的编号)解析由题意，得f(x)在0，)上是增函数，且f(x1)f(|x1|)，f(x2)f(|x2|)，从而由0|x1|x2|，得f(|x1|)f(|x2|)，即f(x1)f(x2)，f(x1)f(x2)0，只能是正确的答案8.设a=logloglog则a，b，c的大小关系是_解析 因为0logloglog所以bac. 答案 ba0且b24a0恒成立，即a0且(a1)20恒成立，a1，b2.(2)由(1)可知f(x)x22x1，g(x)x2(2k)x1.g(x)在x2,2时是单调函数，2,2或2,2.2或2，解得k6或k2，即实数k的取值范围为(，26，)16已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解析 (1)证明法一函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数法二设x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0时，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上为减函数(2) f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.17函数f(x)的定义域为Dx|x0且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解析(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)f(x)为偶函数，令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，即f(x)f(x)所以f(x)为偶函数(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.所以f(3x1)f(2x6)3即f(3x1)(2x6)f(64)因为f(x)在(0，)上是增函数，所以等价于不等式组：或或所以3x5或x或x3.故x的取值范围为x|x或x3或3x518在区间D上，如果函数f(x)为增函数，而函数f(x)为减函数，则称函数f(x)为“弱增函数”，已知函数f(x)1.(1)判断函数f(x)在区间(0,1上是否为“弱增函数”；(2)设x1，x20，)，且x1x2，证明：|f(x1)f(x2)|x1x2|；(3)当x0,1时，不等式1ax1bx恒成立，求实数a，b的取值范围解析 (1) 显然f(x)在区间(0,1)上为增函数，因为f(x)，所以f(x)为减函数，因此f(x)是“弱增”函数(2)证明|f(x1)f(x2)|.因为x1，x2(0，)，x1x2，所以()2，所以|f(x1)f(x2)|x1x2|.(3) 当x0,1时，不等式1ax1bx恒成立所以当x0时，不等式显然成立，当x(0,1时，等于恒成立由(1)知f(x)为减函数，1f(x)，所以a且b1.