空间向量的数乘运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,是()A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量【解析】选C.由题意知,=-,所以向量,是共面向量.2.(2014沈阳高二检测)下列命题中正确的是()A.若ab,bc,则a与c所在直线平行B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面C.空间任意两个向量共面D.若ab,则存在惟一的实数,使a=b【解析】选C.对A.若ab,bc,则a与c所在直线平行,错误.当b=0时不成立;B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;C.空间任意两个向量共面,正确;D.若ab,则存在惟一的实数,使a=b,错误,当b=0时不成立.【变式训练】与共线是直线ABCD的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若与共线,则,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线;而若ABCD,则必有与共线.3.(2014西安高二检测)对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是()A.=+B.=+C.=-+D.以上都不对【解析】选B.因为=+,所以3=+,所以-=(-)+(-),所以=+,所以=-,所以P,A,B,C共面.【变式训练】对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6=+2+3,则()A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面【解析】选B.由6=+2+3,得(-)=2(-)+3(-),即=2+3.由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面.4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=e1+e2(,R且,0),则()A.ae1B.ae2C.a与e1,e2共面D.以上三种情况均有可能【解析】选C.若ae1,则存在实数t使得a=te1,所以te1=e1+e2,所以(t-)e1=e2,则e1与e2共线,不符合题意.同理,a与e2也不平行.由向量共面的充要条件知C正确.5.(2014南宁高二检测)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则等于()A.2-B.-+2C.-D.-+【解析】选A.由已知得2(-)+(-)=0,所以=2-.6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是()A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c【解析】选A.=+=+(-)=+-=-a+b+c.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知e1,e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,则a与b是否共线(填是或否).【解析】设a=b,即3e1+4e2=(-3e1+8e2)=-3e1+8e2,所以所以不存在,使a=b,即a与b不共线.答案:否8.(2014福州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用,表示向量,则=.【解析】=+=+(+)=+(-+)=+.答案:+9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,=a,=b,=c,若=xa+yb+zc,则x+y+z=.【解析】在OBD中,=+=+-=+-=+-(-)=+-=a-b+c,故x+y+z=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=,=2.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.【解题指南】先利用三角形法则进行向量的加减运算,将表示成其他向量,然后进一步用a,b,c表示.【解析】如图所示,连接AN,则=-=+-=+-(+)=+(-)-(+)=c+(b-c)-(a+b)=-a+b+c.【拓展延伸】数形结合法表示向量用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量.本题也可以先将表示为=+.11.(2014武汉高二检测)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足=+.(1)判断,三个向量是否共面.(2)判断点M是否在平面ABC内.【解析】(1)由已知,得+=3,所以-=(-)+(-),所以=+=-.所以向量,共面.(2)由(1)知向量,共面,三个向量的基线又过同一点M,所以四点M,A,B,C共面,所以点M在平面ABC内.【变式训练】直线AB,CD为两异面直线,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量,共面.【证明】如图,在封闭图形ABNM中,=+,在封闭图形CDNM中,=+,又因为M,N分别为线段AC,BD的中点,所以+=0,+=0,+得2=+,即=+,所以向量,共面.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014泰安高二检测)如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量的为()A.+2+2B.-3-2C.+3-2D.+2-3【解析】选C.根据A,B,C,P四点共面的充要条件可知=x+y.由图知x=3,y=-2,所以=+3-2.2.(2014济南高二检测)下列命题:若A,B,C,D是空间任意四点,则有+=0;|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;若a,b共线,则a与b所在直线平行;对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,zR),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.若A,B,C,D是空间任意四点,则有+=0正确;|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,错误;若a,b共线,则a与b所在直线平行,错误,有可能是共线、平行或者其中有零向量;对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,zR)且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面.【变式训练】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是()A.=3-2-B.+=0C.+=0D.=-+【解析】选C.因为+=0,所以=-,所以M与A,B,C必共面.3.(2013温州高二检测)空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于()A.B.3C.3D.2【解析】选B.-+=-(-)=-=+=+2=3.4.(2014石家庄高二检测)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x+,则x的值为()A.1B.0C.3D.【解析】选D.因为=x+,且M,A,B,C四点共面,所以x+=1,x=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知i与j不共线,则存在两个非零常数m,n,使k=mi+nj是i,j,k共面的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).【解析】若i不平行于j,则k与i,j共面存在惟一的一对实数x,y使k=xi+yj.答案:充要6.有下列命题:若,则A,B,C,D四点共线;若,则A,B,C三点共线;若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则ab;若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).【解析】根据共线向量的定义,若,则ABCD或A,B,C,D四点共线,故错;且,有公共点A,所以正确;由于a=4e1-e2=-4b,所以ab,故正确;易知也正确.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面.【证明】如图,过B1作l3l1取点C2l3且BC=B1C2.因为=,=,所以=2,=2.因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线,所以=2,=2.于是=+=+=+(-)=(+)=(2+2)=+.因此,共面.故M,N,P,Q四点共面.8.已知斜三棱柱ABC-ABC,设=a,=b,=c.在面对角线AC上和棱BC上分别取点M和N,使=k,=k(0k1).求证:(1)与向量a和c共面.(2)MN面AAB.【证明】(1)显然=k=kb+kc,且=+=a+k=a+k(-a+b)=(1-k)a+kb,=-=(1-k)a+kb-kb-kc=(1-k)a-kc.因此,与向量a和c共面.(2)由(1)知与向量a,c共面,a,c在面AAB内,而不在面AAB内,所以MN面AAB.